有自我地图f的n周期的点的数字的二代数学的更低的界限：一个协议的MM变光滑尺寸歧管至少3：NF<潜水艇class=“a-plus-plus”>n(f)=min{#Fix(g<啜class=“a-plus-plus”>n)；gf；g是连续的}并且NJD<潜水艇class=“a-plus-plus”>n(f)=min{#Fix(g<啜class=“a-plus-plus”>n)；gf；g是光滑的}。一般来说，NJD<潜水艇class=“a-plus-plus”>n(f)可能比NF大得多<潜水艇class=“a-plus-plus”>n(f)。如果M是一个花托，那么，invariants是相等的。我们证明为一个nonabelian协议谎言组的一张自我地图，与自由的基本的组一起，平等保持f导致的商cohomology同形的所有特征值有moduli1。
