关于Kirchhoff公式的求得方法的教学历来是数学物理方程课程中的难点.下面我们用球坐标变换给出一种较为简单的教学案例.
引理1 球坐标形式的球对称三维齐次波动方程的Cauchy问题为
(1)
如果其中函数μ(r)可连续微分两次、函数ψ(r)为连续可微，则这个问题存在下列解
(2)
引理2 对于三维无限域齐次波动方程的Cauchy问题
(3)
如果其中函数μ(x,y,z)可连续微分三次、函数ψ(x,y,z)可连续微分两次，则问题存在下列正规解(Kirchhoff公式)：
(4)
证 将表达式为式(4)的函数u＝u(x,y,z,t)代入问题，验证（请读者自己做出验证）可知，这个函数的确是问题的解．因此，这个函数是问题的正规解．证毕
下面介绍解的表达式(4)的求得方法．设函数u(x,y,z,t)是问题(3)的解．用它在点(x,y,z)处的球面平均值函数 ，并将其积分表达式用以点(x,y,z) 为球心的球坐标 表示，得 (5)
其中
用问题(3)的泛定方程，得
对上式用复合函数求导法，得
其中 将上式改写为球坐标形式，即
用球面平均值函数性质，得 (6)
将x,y,z视为常数，式(5)关于球坐标 做运算
，依次用交换微分与积分的次序，以上三式，以及函数u(xr,yr,zr,t)关于θ、 的周期性，得
即 (7)
对于u(x,y,z)、ψ(x,y,z)在点(x,y,z)处的球面平均值函数 (x,y,z,r)、ψ(x,y,z,r)，用定解条件，分别得
(8)
由此可见， 是方程(7)与条件(6)以及(8)组成的定解问题的解．于是，用引理1，
得
再用球面平均值函数性质、L/Hospital（罗比塔）法则及变上限函数求导法，得问题(4)的解
这就得到原问题的解的表达式(5)．
为了应用方便，取 则面积元素为 于是Kirchhoff公式中的积分化为球坐标形式
(5/)
[参考文献]
[1]郭时光.关于谱半径的一个不等式及其应用，《科教导刊》，2010，2（下旬刊总42期）53-55
[2]郭时光.关于二阶偏微分线性方程的化简，《科协论坛》，2010，5（下半月刊）72-73
[3]郭时光.Fourier积分公式的证明及教学--《科教导刊》，2010，5（下旬刊总54期）33-34
[4]郭时光.关于二次线性方程，《科教导刊》，2010，9（下旬刊总63期）57-58
[5]郭时光.关于病态线性方程的最小二乘解，《科协论坛》，2010，12（下半月刊）76-78
（作者单位：四川理工学院理学院 自贡）
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