高考数学客观题的解法探究

高考数学客观题的解法探究

曾小平

关键词：高考数学；客观题；解题方法；例证

作者简介：曾小平，任教于广西北海市第二中学。

高考数学客观题包括12道选择题和4道填空题，分别占60分和20分。高考数学成绩的高低很大程度上由客观题决定，即“成也填空选择题，败也填空选择题”。如何解好高考客观题一直是重要的研究课题，除了要求具有扎实的数学基础外，还要掌握一些常见的解题方法与技巧，要“不择手段”的解好客观题，绝不可“小题大做”。下面，将一些常用的方法归纳总结。

一、直接法

涉及数学定理，定义，法则，公式的题目，通常通过直接演算或直接判断得出结果。与选项对照，得出答案。

1.设集合,,则M∩N的元素的个数为（）。

A.0个B.0或1个C.2个D.无法确定

分析：本题关键在于读懂题意，其实质就是考查函数的近代定义。如果对函数概念理解不准确，就无法完成。

解析：B。当时，有一个交点，当时，无交点。

2.设集合A={－1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射f：A→B满足为奇数，问这样的映射最多可能有个。

分析：∴当x=0时，式子=f（x），

∴f（0）=共2个，当x=1时，5种，同理5种。

故满足条件的映射为255=50种，评述：将这种求有约束条件的映射个数问题，先把集合A中的每个元素在集合B中的象找全，然后把这些个数相乘，即可解决问题。

3.乒乓球队的10名队员中，有3名主力队员，现派5名队员参赛，3名主力安排在一、三、五位置，那么，非主力队员甲不出场的概率为。

分析：三名主力队员的出场方法有A33种，余下的只能从除A以外的6名非主力队员选一名有种，∴A出场的方法共有：，∴A出场的概率为=

∴A不出场的概率为1—=。

4.对于可导函数，有一点两侧的导数异号，是这一点为极值点的（）。

A．充分非必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

分析：本题很容易选C，但当y=f（x）在开区间（a，b）上为单调函数时，极值点为x=a，x=b，但此时，a，b两点并不满足题设条件。故选A。

二、特殊法

从题干或选项出发，通过取特殊值代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数（数列）或图形或特殊位置，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到否定一支或三支的目的，特殊法是“小题小作”的重要策略。

（一）特殊值法

多用于解决有关不等式方面的选择题或填空题。

1.已知不等式的解集是，则a的取值范围是（）。

A.0<a<B.<a<1C.0<a<1D.a>1

分析：∵，取x=，则真数=，∴，得a>1，选D。

2.设a>b>1,则的大小关系是。

分析：不妨设a=4,b=2,∴

3.若函数，对任意，总有则的值是：

分析：本题的关键是“对总有：”的理解，则取得：，进而可求得，若抓不住这一点，解答就比较麻烦。

（二）特殊函数法

对于某些以符号函数给出的选择题或填空题，常用此法解决。

1.定义在上的奇函数为减函数，设，则给出下列等式：

①②

③④

其中正确的不等式的序号为：

A．①②④B.①④C.②④D.①③

分析：若根据函数的单调性与奇偶性一一验证则较烦，可采取一个满足上述性质的特殊函数，可知（B）正确。

2.函数是上的偶函数，当且，有（）。

A.B.C.D.

分析：取满足条件的一个函数则选Ａ。

3.已知和的定义域为且满足条件，，，则＝。

分析：∵∴联想到三角公式

∴＝

∵

又∴即＝—１

（三）特殊数列法

1.如果等比数列的首项是正数，公比，那么数列是（）。

A.是递增的等比数列B.递减的等比数列

C.递增的等差数列D.递减的等差数列

分析：本题若是熟悉对数性质、等差、等比数列的关系，也不难判断，但最简单的是取，即得答案D。

2.已知等差数列的公差且成等比数列，则是。

分析：若直接代入用基本方法计算则很烦，但考虑到中的下标成等比数列，故可令满足题设条件，于是＝＝。

（四）特殊位置或特殊点法

1.如图，在棱柱的侧棱和上各取一动点，满足，过三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之

比为（）。

A．B.C.D.

分析：将置于特殊位置：，，此时仍满足条件，则有，故选（B）

2.椭圆的焦点为，点为其动点，当为锐角时，则点的横纵标的取值范围是。

分析：设，当时，点的轨迹方程为，由此可得点的横坐标，当为锐角时范围是Ｕ。

三、数形结合法

数形结合思想是高中数学的重要思想方法，这一思想方法在高考中得到了淋漓尽致的考查。

1.已知，设：函数在上为单调递减函数，：不等式的解集为，若“或”为真“且”为假，则的取值范围是（）。

A.＞B.０＜≤C.＜≤１D.Ｕ

分析：本题的关键在于求出真与的取值范围，若从中解不等式，则较烦，而利用的最小值为则可快速求得答案为C。

2.若关于的方程有两个不等实根，则实数的范围是。

分析：如果用判别式法则易产生增根造成错解，如果把方程两边看成两个函数，分别作出其图象，则可快速求解：

四、推理分析法

它包括特征分析和逻辑分析两种。

1.已知，，则等于（）。

A.B.||C.D.５

分析：由于受条件的制约，故ｍ为一确定的值，于是的值应与无关，进而推知的值与无关，又，∴故选D

2.设是满足的实数，那么

A.B.C.D.

分析：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除C，D，又由可令，知B为真。象这样，通过对四个选项的逻辑关系的分析，达到否定误谬选出正确答案的方法称为逻辑分析法。

五、筛选法

它充分利用选择题的单选特征通过分析，推理，计算判断逐一排除错误选出正确答案。

1.若为三角形中的最小内角，则函数的值域是（）

A.B.C.D.

分析：∵是三角形中最小内角，故＞１，∴排除B，C，D.

2.函数的值域是（）。

A.B.C.D.

分析：∵，故，否定（A），再分别取排除C，D，故选B。

六、构造法

在解题时，有时需要根据题目的具体情况来设计新的模式解题，这种设计工作称为构造模式解法，简称构造法。

1.已知，且，则满足（）。

A.B.C.D.

分析：构造函数，在上是增函数，而已知有≥

∴，即.

2.如图，点在正方形所在的平面外，⊥平面，＝，则与所成角的度数为。

分析：根据题意可将图形补成一正方体易求得。

答案：

以上是解答高考客观题的一些常见方法，当然有些题目的解法不限于上述的某一方法，须同时使用几种方法才能解决，希望同学们在复习中注意解题经验的积累，提高解题能力。

练一练：

1.空间五个点，其中任意两点连线都与其它三点所确定的平面垂直，则这五个点（）。

A．存在，且其中任意四点都不共面。

B．不存在，其中可能有四个点共面。

C．不存在，但在其中任意两点所确定的10条直线中，可以有8条分别与三点所确定的平面垂直。

D．不存在，但在其中任意两点所确定的10条直线中至少有7条分别与另外三点所确定的平面垂直。

解：用特殊法考虑，正四面体和它的外接球球心O，四个顶点及O满足条件，淘汰C、D。

若四点A、B、C、D共面，加第5点O也满足条件，则AB⊥平面CDO，从而AB⊥CD，从而得出结论：A、B、C、D每两点的连线应与另两点的连线垂直，这四点只能是△ABC及其垂心D，且O点在过D点的平面ABC的垂线上，但如此一来，AO就不可能与平面BCD（也即平面ABC）垂直，淘汰B，选A。

2．若，则的取值范围是()。

A.B.

C.D.

解法1：∵≤≤∴∴∴≤1∴选D。

解法2：取=0，

∴0满足不等式，排除A、B、C选D

3.已知(∈N)的展开式中，各项的二项式系数之和为，各项系数和为，则=（）。

A.–1B.0C.D.1

解法1：=令=1,则=(2╳1+1)n=3n，

解法2：依题意有，∴〈0，结合选项知选（A）

4.过抛物线的焦点F，作互相垂直的两条焦点弦AB和CD，则|AB|+|CD|的最小值为（）。

A.B.C.D.

解法1：由得，由抛物线定义知：

|AB|=|+2a|=4a(1+)，同理|CD|=4a(1+)

∴|AB|+|CD|=4a(1+)+4a(1+)=4a(2++)≥16a

解法2：从对称性考查：设AB的斜率为1，则|AB|=|CD|易得|AB|=8a(不必求解方程组)，则|AB|+|CD|=16a.选（D）

参考文献：

[1]徐有标，刘治平.（龙门专题）高考中的数学思想方法[M].北京：龙门书局,2002.

[2]谭光勇.高考数学选择题解法浅析[J].数学学习与研究(教研版),2010(13).

作者单位：广西北海市第二中学邮编：536005