小系数大学问

小系数大学问

林松杰

关键词：系数；二次函数；探索

作者简介：林松杰，任教于浙江慈溪市胜山初级中学。

“二次函数”是初中数学实际问题的一种常见的模型，也是每年各地中考试题的命题热点，由于其模型与实际生活的事例联系多，式与形的联系过密，因此成为了中考压轴题不错的素材。对于初中生而言，这一块内容是学习的难点，许多学生看到这类题目就怕，甚至解题的方向都没有。笔者在“二次函数”复习中引导学生注重解析式与图像的结合，再抓住图像中某些特殊的点或图形来探索二次函数一般式中的字母系数a、b、c的特征。从而得到一些规律来，作为解题的尝试方向。

一、对于a、b、c的认识探索

为了使学习过程对知识的统一，我们约定对a、b、c是特定的，即a是二次项系数、b是一次项系数、c是常数项。而对于三个字母的作用应该说明一下，a是对抛物线的形状起着决定性的作用，而a的符号决定了开口方向，也就是说二次函数图像的决定性系数是a，b与c只是对抛物线在某个直角坐标系上的位置有关，即与对称轴X＝、顶点M（）有关。如果认识到这一点，那么对于二次函数图像的平移、旋转、对称问题就不难解决了。

二、二次函数图像中的关键点探索

作二次函数图像我们一般采用的方法是“五点法”描图，但是对于比较准确、快速、有效地把握二次函数图像，我们一般是抓住几个关键性的点：顶点（与对称轴的交点）、与X轴交点、与Y轴交点，这些点的坐标可以用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的a、b、c来表示，其中可以确定的是顶点M（），与Y轴交点C（0，c）。与X轴交点情况需要进行讨论：①b2-4ac＜0,抛物线与X轴无交点。这是判断函数值恒大于零或恒小于零的重要依据，即当a＜0时抛物线在X轴下方，当a＞0时抛物线在X轴上方。

②b2-4ac=0，抛物线与X轴只有一个交点，此交点就是顶点M（）。此情况就是抛物线的顶点在X轴上，同时对于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)出现两个相等的实数根。

③b2-4ac＞0，抛物线与X轴有两个交点，即A（0）、B（0）。在此条件下才会出现后面几种有关二次函数的几何图形计算，线段AB的长度计算公式。

例1.(08年宁夏回族自治区)已知二次函数y=x2-2x-1。(1)求此二次函数的图像与x轴的交点坐标．（2）二次函数y=x2的图像，如图所示，将y=x2的图像经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2-2x-1的图像。

分析：此题的解答是上述两种情况结合的题目，既要求二次函数图像中的关键性点，同时也涉及到了图像的平移问题，学生如果自己体验过一些公式的推导那对解题就有很大帮助。此题的关键性问题是求出一元二次方程x2-2x-1＝0的两根以及求二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标，从而再去找出从坐标原点到顶点的平移过程，则此题解答也就出来了。我们不妨用上述的推导结果来解答此题。

解：（1）此二次函数中的a＝1、b＝－2、c＝－1

＝＝＝

则与X轴交点（，0）、（，0）

（2）＝－＝1，＝＝－2

∴顶点坐标为（，）

将二次函数图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位。

例2.（08年枣庄市）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且．（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；

分析：此题中在两个关键点A、B，点A是图像与Y轴的交点（0，c）,点B是与X轴交点之一，并且是在X的负半轴上，则横坐标为负数。

解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．

∵，∴BO=3．∴点B的坐标为（-3，0）．

（2）把点B的坐标（-3，0）代入，得．

解得,∴所求二次函数的解析式为．

在近几年数学中考试卷的难度有所下降，但对于二次函数的基本题还是有必要强调，对上述两个知识点的纯字母的推导可以让学生对二次函数的基本知识点有一个系统化的掌握。

三、二次函数图像上两个特别三角形的面积计算探索

当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)满足b2-4ac＞0时，函数的图像与X轴有两个交点（设为A、B）与Y轴有一个交点（设为C），另加抛物线的顶点（设为M），就出现了两个特殊的三角形与，这两个三角形的面积计算公式我们也可以找到，下面就简单地讲述一下探索过程。

首先求出

的面积：

S＝＝

的面积：

S＝＝

＝

四、二次函数图像中X轴交点与顶点三角形的特殊性探索

在中，点A与点B关于直线X＝对称，则此三角形一定是等腰三角形。若是特殊的等腰三角形，那么a、b、c之间必定存在特殊的情况。

当是直角三角形时，即为等腰直角三角形，则满足＝。此时也就满足：＝，通过等式变形可得到：b2-4ac=4。

当是正三角形时，满足＝，即＝，通过等式变形可得到：b2-4ac=12。

例3.（2008年广东湛江市）如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

分析：此题的解答过程中首先要求得到三个关键点的坐标，第二小题的解答要对四边形ACBP进行分割，即分别求与的面积，这样可以降低题目的难度，如果把这两个三角形的公共边AB看作底，则高就是点P、点C有纵坐标的绝对值即、。而点P的坐标就是通过直线与抛物交点问题来解答，这里就涉及到了两直线平行→解析式中的比例系数K相等的知识点。

解：（1）令，得解得

令，得

∴ABC

（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，∴PAB=

过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE=∴P

∵点P在抛物线上∴

解得，（不合题意，舍去）

∴PE=

∴四边形ACBP的面积

=AB?OC+AB?PE=

例4.（2008年重庆市）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

分析：此题的第二小题中涉及到的知识点就多了，出现了点运动、线平行、三角形相似等内容，那么如何分解此题的难度，我们可以通过用字母表示点的坐标从而来达到线段的运动过程，这样可以降低我们对题目的静态认识。

解：（1）由题意，得

解得

∴所求抛物线解析式为：y＝

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，由＝0，得=-2,=4

∴点B的坐标为（－2，0）

∴AB＝6，BQ＝m+2

∵QE∥AC，∴∽∴＝

即＝∴EG＝

∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ×CO－BQ×EG＝（m+2）(4-)

==

又∵

∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）

在二次函数图像中有许多特殊的直线，那么也得到许多的三角形，因此，三角形的面积计算问题成了近几年中考命题的热点，我们抓住函数图像上特殊点与三角形的关系，可以发现所解答的问题与已知条件的关系，从而找到解题的方法。

五、二次函数图像中线段的关系探索

在二次函数图像中有一个特殊的三角形就是，若∠ACB＝Rt∠，则Rt∽Rt∽Rt，用出线段成比例，OC2＝AO×OB，即×，通过等式变形可以得到：＝1.

例5.（08年四川省资阳市）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．求抛物线的解析式；

分析：此题是压轴题的第一个问题，因此解得出此题方可解得后面的其他几个小问题。题中有一个很重要的条件以AB为直径作⊙O′，那也就是告诉了∠ACB＝Rt∠，就可以解答出OC的长，得到点C的坐标。

解：∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC=∠COB=90°，

∴ΔAOC∽ΔCOB，∴．

又∵A(–1，0)，B(9，0)，

∴，解得OC=3(负值舍去)．∴C(0，–3)，

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，

∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x2–x–3．

对于初中学生而言，二次函数的题目一直是个难点和重点。从近几年的中考试卷来看，考试的难度要控制在0.7及以上，因此只有抓好基础题才能得高分。同时利用二次函数题可以设置一些有梯度的小题，从而总体上促进学生对解数学题的兴趣。如果自己能对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)进行纯字母化的推导，这样可以提高学生对解题的熟悉度，扩宽解题思路。

参考文献：

[1]张贤斌.二次函数新题型解析[J].数学学习,2007(2).

[2]李宏伟.运用数形结合思想求解二次函数中参数问题[J].新课程研究,2007(1).

[3]钟燕.课堂教学模式及减负增效教学策略的案例[J].中学数学,2007(1).

作者单位：浙江慈溪市胜山初级中学

邮编：315323

SmallCoefficientsandLargeKnowledge

LINSongjie

Abstract:Quadraticfunctionisakeyanddifficultpointinjuniorhighschoolmathematics.Studentsmightgettograspproblem-solvingmethodsandthoughtsforquadraticfunctionbyprobingintoliteralcoefficients.

Keywords:coefficients;quadraticfunction;exploration