运用函数概念解题策略

运用函数概念解题策略

许祥东

许祥东江苏省沛县第二中学

苏教版数学必修（1）P29第6题是：直线x＝a和函数y＝x2＋1的图象的公共点可能有几个？

题目很简单，解题的关键是因a∈R属于函数y＝f（x）的定义域R，由函数的定义知，公共点只能有1个。

引申练习：直线x＝a和函数y＝f（x）的图象的公共点可能有几个？

平时学生做这道题出错很多，但有上述题目作铺垫，本题易得答案：0或1个（解题的关键是看a是否属于函数y＝f（x）的定义域）。

通过上述两题解法类比，说明平时处理函数题时，如能考虑函数的概念，重视题型类比，看似较难的函数题目便会迎刃而解。

下面根据平时教学点滴积累，仅举数例，一窥函数概念在数学解题中的应用，提高应用函数定义解题意识。

一映射型

已知集合A＝｛a，b，c｝，B＝｛－1，0，1｝，求建立从A到B且满足f（a）＋f（b）＋f（c）＝0的函数f个数。

解析：本题较常见，但学生往往不知从何处找解题突破口，事实上，解题关键是对代数式f（a）＋f（b）＋f（c）＝0的理解，由函数定义知f（a），f（b），f（c）是属于集合B中的元素，问题转化成从B中无限制，可重复任取3个元素满足f（a）＋f（b）＋f（c）＝0，由于每个式子对应着一个函数关系，又因为符合f（a）＋f（b）＋f（c）＝0的表达式仅有－1＋1＋0＝0、0＋0＋0＝0两类，故符合条件的函数关系个数共有＋1＝7。

据此，下列较难问题很易解决，如：

已知集合A＝｛a，b，c｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，求建立从A到B的映射f满足f（a）﹥f（b﹥f（c）的映射个数。

由上解题可知，符合条件的映射关系个数共有＝10。

上述问题都是映射类，学生做起来感觉较难的题，通过上述问题的解决发现，在解决问题中若能紧扣映射定义，揭示建立映射满足的条件，许多题目便很易解决。

二函数型

例1，若f（x）与g（x）都是定义在R实数集上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解。则g［f（x）］不可能为（）。

A、x2＋x－B、x2＋x＋C、x2－D、x2＋

此题乍看不知从何处下手，但如能考虑函数的定义，方程x－f［g（x）］＝0有实数解，设解为a则代入得a－f［g（a）］＝0，把方程看作函数，a＝f［g（a）］可理解为在g（x）的定义域中存在元素a经过映射g，对应的象记为b，b经过映射f后，在f（x）的值域中存在a与之对应。这样对g［f（x）］而言，在上述解释下，由函数定义知存在b，使得g［f（b）］＝b成立，即方程g［f（x）］＝x有解，逐一代入验证，选B。

例2，对任意x∈R，函数y＝f（x）表示－x＋3，x2－4x＋3中的较大者，则y＝f（x）的最小值为。

这个题有许多学生不知从哪思考，细想一下，y＝f（x）是函数，如能想到函数的定义，问题便豁然开朗。函数y＝f（x）的构成就是对给定的三个函数而言，在公共的定义域内取相同的x0值，所对应的三个函数值中最大的值若记为y0，则y0＝f（x0），即点（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，故在同一坐标系下，画出给定三个函数的图象，确定y＝f（x）的图象，由图易知，y＝f（x）min＝2。

例3，函数f：A＝｛1，2，3｝→B＝｛1，2，3｝满足f（f（x））＝f（x），则这样的函数个数共有几个？

确定函数关系有难度，但若考虑函数的定义，确立A到B函数关系的关键是A中任意元素在B中对应的元素具体是什么。有不确定性，再结合f（f（x））＝f（x）知，共3类（B中一个元素，2个元素，3个元素有原象），故符合条件的函数关系式共10个。

例4，已知函数f（x）＝，g（x）是二次函数，

若f（g（x））的值域是［0，＋∞），求函数g（x）的值域的取值范围。

分析：结合函数定义，本题相当于已知函数的值域，确定函数的定义域。一般来说答案不惟一，考虑到题目给出的具体条件g（x）是二次函数，这实际上给出了函数的定义域的形式，结合图象得出答案，为［0，＋∞）。

三反函数型

例1，已知函数f（x）＝4x＋2x＋1，则f－1（3）＝。

由反函数的定义知，求f－1（3）相当于令f（x）＝3，求x。易得x＝0。

例2，定义在R上的函数y＝f（x）存在反函数y＝f－1（x）且f（x）＋f（－x）＝2，求f－1（x－1）＋f－1（3－x）的值。

函数y＝f（x）没有具体的解析式，但仔细推敲后发现函数式f（x）＋f（－x）＝2意味着对函数y＝f（x）而言，互为相反数的两自变量对应的函数值之和为2，而所求函数式f－1（x－1）＋f－1（3－x）中，因x－1＋3－x＝2，而x－1、3－x可看作函数y＝f（x）中值域的两个量，由反函数的定义知f－1（x－1）＋f－1（3－x）＝0。

例3，已知函数f（x）的定义域为D，值域为A，存在反函数y＝f－1（x），则方程f（x）＝0有解，x＝a且f（x）﹥x（x∈D）的充要条件是y＝f－1（x）满足。

分析：学生做该题出错较多，若能考虑到反函数的定义，本题的题意就很清楚了，就是用反函数的形式等价地表示上述结论。答案为：f－1（0）＝a且f－1（x）＞x（x∈A）。

通过上述解题发现，遇到反函数问题时若能考虑到函数定义，解决问题是很简单的。

解题教学是高三教学的重要环节，通过解题能更好地帮助学生理解基础知识，熟练运用和巩固三基，又能帮助学生学习数学思想方法，加强思维训练。在平时解题过程中要有意识地培养学生运用概念解题的习惯。