浅谈三角函数的图像与性质

浅谈三角函数的图像与性质

牧语涵

河南省郑州市明新中学高二1902班450000

摘要：三角函数的定义是三角函数中最基本的概念，在教材中起承前启后的作用，是三角函数其他知识的出发点。由三角函数的定义可导出三角函数的具体内容：三角函数线、定义域、三角函数的符号、值域、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数的图像和性质。

关键词：三角函数图像性质

一、三角函数及其图像

三角函数有六个基本函数，分别为正弦函数（y=sinx）、余弦函数（y=cosx）、正切函数（y=tanx）、余切函数（y=cotx）、正割函数（y=secx）、余割函数（y=cscx）。高中阶段对于前三个的学习和应用较多，后三个，特别是最后两个基本上不要求我们掌握，高考也很少出现。三角函数的图像其实就是它的一种表现形式，即，将三角函数的自变量x与相对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出其对应点，由这些所组成的图形就是三角函数的图像。三角函数的图像因其几何性质能够用三角函数的函数关系直观、形象地表示出来，这就大大方便了我们对它的学习和应用。但是同样是由于其直观、形象的特质，图像无法精确地表示数量关系，相近点的数量关系仅凭图像难以分辨。

二、三角函数的性质

1.三角函数的周期性。其一是f（x+T）=f（x）时，只有对于定义域中的任意一个x都成立，非零常数T才是f（x）的周期，这是因为周期性所规定的三角函数性质，是对于整个三角函数而言的。函数值重复出现的自变量x的增加值就是周期。具体来说就是：sin（2kπ+x）=sinx对定于域中的任意一个x均成立，所以2kπ（k∈Z且k≠0）是y=sinx的周期，最小正周期则为2π。而对于函数y=cosx来说，其周期则为2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期则为2π。而tan（kπ+x）=tanx对于定义域中的任意一个x均成立，则其周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期则为π。三角函数的周期性除了规定上述诸事外，还规定了其他的一些作用，主要有三，一是函数的递增或递减区间呈周期性出现，每一个三角函数都有无数个互不连接的递增或递减区间。其次则是在三角函数中，其最大值点、最小值点和使函数无意义的点都呈现周期性变化。最后则是三角函数的图像只需画出一个周期便能理解全貌，不必全部都画出来。

2.三角函数的对称性。三角函数的图像不仅是轴对称图形，同时也是中心对称图形，对称轴正好是过定点与x轴垂直的直线，三角函数的零点正好是其对称中心。三角函数y=sinx的对称轴为x=kπ+，对称中心为（kπ，0）k∈Z。三角函数y=cosx的对称轴为x=kπ，对称中心为（kπ+，0）k∈Z。因此，我们在画三角函数的图像之前，应当弄清楚画函数的周期的方式，然后再用五点法画出函数在一个周期上的图像即可。

例，曲线y=2sin（x+）cos（x-）与直线y=在y轴右侧的交点，按照横坐标由小至大顺次记成P1、P2、P3……那么，P2P4等于多少？

分析：根据此题可以看出，函数解析式不属于最简化的，所以，必须将其做化简。此外，交点个数为无穷多个，交点之间的相互关系一定要通过画图像来进一步理解。解析：将函数解析式化简，可得出，y=sin2x，则按照其图像可以知道，P2P4两个点之间相差一个周期，所以，P2P4的长度是π。根据该题的图像，我们能够得出这样的结论：与x轴平行的直线和函数y=Asin（ωx+φ）的图像，其交点满足任意两个交点相距若干个周期或是关于某条对称轴对称。

3.三角函数的单调性。求三角函数的单调区间是我们学习过程中较为基础的内容，其主要原理就是复合函数的单调性判定方法，运用整体换元即可。同时还需对单调区间的部分细节加以理解，懂得如何运用单调性来解题。

通常对于函数的单调性的定义是：设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。在三角函数上主要就是求得正确的函数单调区间。就是三角函数的定义域、值域问题。几个常用的三角函数中，y=sinx的定义域是R，y=cosx与其相同。而y=tanx的定义域则有{x|x≠kπ+，k∈Z}、（kπ-，kπ+）（k∈Z）这两种表现形式，另外值得注意的是，y=tanx中角x不能取终边在y轴上的角。而三角函数的值域问题则是指：y=sinx与y=cosx的值域都为[-1,1]，函数y=tanx的值域则为R。

4.奇偶性。三个常用的三角函数中，y=cosx在R上是偶函数，而另外两个y=sinx和y=tanx则在各自的定义域上为奇函数。

由上述四点可看出，三角函数的性质其实与其图像有着比较紧密的联系。我们可以将二者结合起来，以前者来研究后者。

参考文献

[1]江忠东微专题七三角函数的性质[J].中学数学教学参考，2018，（Z1），77-80。

[2]刘冰楠中国中学三角学教科书发展史研究（1902-1949）[D].内蒙古师范大学，2015。

[3]曹凤山三角函数的图像与性质[J].中学数学教学参考，2015，（Z1），61-65。