浅谈逆向思维在初中数学解题中的运用

浅谈逆向思维在初中数学解题中的运用

舒作林

舒作林广西桂林市全州县石塔口初中541513

摘要：文章通过众所周知的三个故事浅显易懂地揭示了何为逆向思维，然后列举了初中内容的10个数学题例，逐个分析归类，说明了在数学解题和证题过程中运用逆向思维的四大功效，总结发掘、运用、推广逆向思维来解决数学问题的重要意义。

关键词：逆向思维初中数学教学解题运用

何谓逆向思维呢？让我们用三个熟悉的故事来揭示。记得小时候语文课本上有一个《乌鸦喝水》的故事，讲述一只口渴的乌鸦找到了一个瓶深、瓶口小、里面水少的瓶子，它无法把头伸下去喝到水。后来，它想了一个办法，叼了些小石头放进瓶里，使水位升上来，终于喝上了水。另有一个故事，讲述的是几位小朋友在一起玩皮球时，不小心把球掉进了一棵大树的树洞里，树洞小而深，人无法伸手或用物下去取出皮球，小朋友们就想出往树洞里灌水的办法，使皮球浮出树洞。这两个故事有个共性就是：按一般的做法伸下去取物不成，就换思维方法，从其它方面入手，使物升上来取。还有一个妇孺皆知的北宋司马光孩提时代破缸救友的故事，一般看来，要使掉进水缸里的孩子不被淹死，就要把他拉出来，使“人离开水”，但是缸高、人矮、力气小，怎么办呢？司马光急中生智，把缸打破，来了个“水离开人”。这些故事给了我们有益的启示：离开常走的大道另辟蹊径，运用逆向思维，往往会有意想不到的收获。日常生活如此，学习数学也不例外，运用逆向思维常常会使问题得到出奇、巧妙的解决。下面就举例浅谈逆向思维在初中解题中的具体运用。

一、以简驭繁，化难为易，逆思倒推，豁然开朗

例5.计算3（22+1）(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1

这道题目式子长而数字大，若按整式乘法按部就班地展开运算，显然很繁琐，且易错，如果从整式乘法的逆运算因式分解联想平方差公式，把3看成(2-1)(2+1)=22-1，再反复运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,就会产生“连锁反应”，有“金蝉脱壳”之效，轻而易举地算出结果。相信大家都能写出解题过程和结果。

三、声东击西，推此及彼，“柳暗花明”，迎刃而解

例6.当m为何值时，两方程2x2+mx+2=0和x2-2mx+1=0中至少有一个方程有实数根？

本题属于“至少型”问题，从正面考虑，则要分一个、两个实数根两种情况进行讨论，计算比较复杂，如从“至少有一个”的反面“一个都没有”入手思考，情况就简单得多。解：若两方程都无实根，则△1=m2-16<0，即-4<m<0，△2=4m2-4<0，即-1<m<1，亦即-1<m<1时两方程都无实根。故当m≥1或m≤-1时，两方程中至少有一个实数根。此例说明，在解“至少型”问题时，运用逆向思维，考虑其反面是行之有效的常用方法。

四、奇思妙想，左右逢源，切中要害，出奇制胜

例7.已知方程2x2+3x-1=0，求作一个一元二次方程使它的根分别是已知方程的各根的两倍。

一见这道习题，便可想到几种解法，但真正显得简便、巧妙的方法还是从反面思考，根据所求方程与已知方程根的某种关系，用“变根代换法”把已知方程变换成所求的方程。不妨一解：设所求的一元二次方程的根是y,原方程的根为x,依题意得y=2x,则x=0.5y代入原方程得2(0.5y)2+3(0.5y)-1=0，即y2+3y-2=0为所求的方程。

例8．已知x2-3x+1=0,求x4+x-4的值，这一题若按常规解法，先解方程x2-3x+1=0求出x的两个解值，再分别代入原式中求值，显然太复杂，不可取。若不解方程，将方程移项变形便可得x+x-1=3,再从x4+x-4入手，将其化为(x2+x-2)2-2=[(X+X-1)2-2]2-2=47。显然算起来容易得多。

数学证明题中反证法也是一种运用逆向思维的典型方法。

在解题和证题中使用此方法能解决按常规思维难于解决的问题。

例9.求证：凸多边形的锐角不能多于3个。这个问题涉及的是数量不能问题，按常规思维，难以找到突破口，无从下手。若运用逆向思维，使用反证法，则“柳暗花明”，问题能迎刃而解。现在用反证法证明：假设凸n边形（n>3）的锐角多于3个，那么这n个内角中至少有4个角（不妨设为A、B、C、D）都是锐角，则有A+B+C+D<360°(1)令其（n-4）个内角和为S，则有S<(n-4)180°（2），由（1）、（2）两式左右分别相加得：A+B+C+D+S<(n-2)180°。

显然该式与n边形的n个内角和A+B+C+D+S=(n-2)180°相矛盾。故凸多边形的锐角不能多于3个。

运用逆向思维来解答数学选择题也是一种快捷简便的常用方法。这种方法就是从题支入手通过推理排除，最后确定题干的答案。

例10.试判断一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c同一坐标系内的图像是（）。

对于这道选择题，若从已知推结论，难以确定两函数的图像，不易确定答案。

如果反过来，从给出的4个结论入手，仔细观察分析，可知a、b均不等于0，由此可知，抛物线的顶点不可能在y轴上，故排除答案B,a的取值无外乎有两种情况：（1）a>0时，直线经过一、二、三象限，抛物线开口向上，只有答案B符合条件，但已排除。（2）当a<0时，直线经过二、三、四象限，抛物线开口向下，只有答案C符合条件。故应选C。

综上所述，所谓逆向思维，简而言之，就是从事物或问题的反面入手，逆向思考，逆用规律、法则或定理来解决实际问题的思维方法，使用这种方法来解决数学问题，能化繁为简，化杂为清，化难为易，起死回生，有时甚至显得奇妙无比，给人美的享受。足见这种方法是数学解题中极其灵活且重要的方法之一。师生们在教与学的过程中，应有意识地发掘、运用并推广这种思维方法，以提高自己的巧思妙解能力和灵活应变的解题技巧及