圆锥曲线的应用

圆锥曲线的应用

贾伟

关键词：圆锥曲线；椭圆；双曲线；抛物线；圆；应用

一、引言

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，学生在实际生活中接触最多的是圆，对于椭圆、抛物线和双曲线的应用接触较少，这在很大程度上影响了学生学习数学的兴趣。《数学课程标准》指出，数学是人类文化的重要组成部分，数学教学应当反映数学的历史、应用和发展趋势，要让学生了解数学的应用价值和人文价值。我们现阶段的教育教学只重视了知识的传授，更多地忽略了知识本身的灵活应用，很少想到用我们所学过的知识来处理生产生活中所遇到的一些问题。本课题主要通过介绍数学中所学过的圆锥曲线中的相关内容，从实际生产生活中运用它来处理相关问题，让学生具体的感知体会数学在生活中的“美”。

二、圆锥曲线的应用

1.圆锥曲线在天体中的应用

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳就在地球运行的一个焦点上。同理，地球和我们发射的航天器在天体中的运动轨迹也是一个椭圆。为了帮助学生更好的理解，选择了一道和椭圆有关的高考题来帮助学生理解。

例1.(2004年春季北京-文18)2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A距地面200km，远地点B距地面350km.已知地球半径R=6371km.(如下图)

(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；

(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?(结果精确到1km/s)(注：km/s即千米/秒)

解：(1)设椭圆的方程为+=1.

由题设条件得

a－c=|OA|－|OF2|=|F2A|=6371+200=6571，

a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721.

解得a=6646，c=75，所以a2=44169316，

b2=a2－c2=(a+c)(a－c)=6721×6571=44163691.

∴所求椭圆的方程为+=1.

(2)略

2.在实际生活中的应用

生活中很多地方都有圆锥曲线应用实例，下面就圆锥曲线中双曲线和抛物线在实际生活中的应用做简单的介绍。

例2.如下图2所示，Ｂ地在Ａ地的正东方向４km处，Ｃ地在Ｂ地的北偏方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处Ｍ建一座码头，向Ｂ，Ｃ两地转运货物．经测算，从Ｍ到Ｂ，C修建公路的费用分别是万元/km，万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．

解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴，建立坐标系，则，据题意知为双曲线的一支，由，可得双曲线方程为，其中．正好修费用为万元／千米，修为万元／千米，过作准线的垂线，垂足为，此时最短，即最小，也即最小，故所求费用最低为万元．

例3.河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少m时，小船不能通航.

解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为

将点代入求得.

.

将点代入方程求得.

3.在数学解题方面的应用

例4.(数形结合求解相关问题)(1983年美国普南特大学生数学竞赛试题)求二元函数的最小值。

解：如图所示，的表达式是两点之间距离的平方，且。所以，分别是圆与双曲线上的一点。易知，所以。

4．在求解一元二次不等式中的应用

例5.解不等式(1)(2)

解：(1)设。从而得到一个轨迹方程，对每一个值，所对应的均为原不等式的解。反之，原不等式的每一个解也都有值与之对应。轨迹圆中的坐标取值范围为。所以原不等式的解为。

(2)设，得到双曲线。双曲线上的坐标取值范围为不等式的解集：。

总之，圆锥曲线与我们生活有着紧密的联系，上面只是简单列举了它在生活中的一些常见的应用，只要我们细心总结和发现，相信我们可以发现圆锥曲线更为广阔的应用空间。我们要善于利用我们所学习过的知识来处理我们在生产和生活当中所遇到的实际问题，要真正做到学以致用。

(作者单位：陕西省安康市石泉县石泉中学725200)