探讨边界元法在岩土力学中的应用

探讨边界元法在岩土力学中的应用

刘鹏

(中国能源建设集团山西省电力勘测设计院有限公司山西省030001)

摘要：本文首先介绍了边界元法的优点和发展，然后分析了边界元法的基本原理，最后探讨了边界元法在岩土力学中的应用

关键词：边界元法；岩土力学；基本原理；应用

岩土力学所处理的介质，无论是岩或土(以下统称为岩体)都是地质介质。地质介质和人造的介质例如钢铁、水泥等不一样，它是在漫长的地质年代中经受各种营力的作用而形成的一种天然介质。岩体往往为众多的节理、层理和断层等弱面所切割，是一种不连续的地质介质，并且它长期处于压应力和瓦斯、地热、地下水等多种营力的作用之下，不同于一般的人造介质。岩体是高度非均质的，它的结构具有分形的特点，即在宏观到微观之间的任何尺度上看岩体都具有自相似性。

目前在岩土力学中常用的数值计算方法有差分方法、有限元法、边界元法等几种，特别是后两种方法，随着计算机的发展其应用尤为广泛。但是，这几种方法都是以连续介质为出发点，而且往往固于小变形的假定。它们虽然也可以用来解决由几种介质所组成的非均质的问题，并且对于个别的断层或弱面，也可以用设置节理单元的办法来解决，但是用以解决富含节理和大变形的岩土力学问题，往往所得的结果与实际的物理图景相差甚远。

1边界元法的优点和发展

边界元法仅需在边界离散单元简化数值求解过程，且在自由液面的处理上具有优势，可简化数值模拟中对自由液面非线性的处理。

利用边界元法计算一些问题的数值解较之有限元法、差分法等一些区域解法有如下一些优点：降低了维数、节省了内存、提高了计算效益,特别是有限元法与差分法对处理带孔的无限板和半平面问题比较困难,而边界元法对这类问题的处理不存在实质性的困难。

边界元法是迅速发展起来的一种数值计算方法，特别适用于解决岩石力学方面的问题。边界元法和有限差分法及有限元法的主要差别在于：边界元法是“边界”方法而有限差分法或有限元法是“区域”方法。因此使用边界元法有降低维数的效果，即二维问题可降为利用一维边界上的讯息来求解，三维问题只要用到二维边界面上的讯息来求解。

边界元法与有限差分法或有限单元法相比，其突出优点为：

1）因为只要对边界进行离散，不要在区域内进行剖分，所以数据输入要简便得多，所求解的代数方程的数目也要小得多；

2）由于误差仅在边界离散化时引入，而区域内有关变量的数值已有解析表达式，所以计算精度较高；

3）计算结果的整理简单，可以直接求得区域内任一后定点的有关变见i沟数值，而不必求助于数值微分积分或插值计算；

4）处理半无限域或无限域的情况方便，所以特别适用于岩石力学中地下开采的有关问题。

边界元法(BEM)是一种有特色的数值分析方法，近几年来的发展与应用已充分显示出其优越性，其本身也得到了快速的发展。合肥工业大学的王有成等提出了一种新的有限元计算格式一全特解场边界元方法。该方法利用基本解来构造全特解场，在通过对偶性确定边界元系数阵全部元素。浙江大学的何文军、丁皓江等提出了简支多边形薄板的积分方程。清华大学刘清瑁等把几年发展起来的Calerkin对称性边界问题应用到结构的软化分析。山东大学的鲁统超研究了二维非线性热传导方程的Dirichlet问题的差分边界元方法等。

2边界元法的基本原理

边界元只在边界上剖分单元，把边界积分方程转变为线性代数方程组，由此解出各边界单元处待定的边界值，再利用把边界值与域内函数值联系起来的解析公式，就可求出计算区域内任一点的函数值。

边界元法可分为两种基本类型：即直接法和间接法，前者是用具有明确物理意义的变量来建立边界积分方程；后者却用不甚明确的变量，边界一般被加上按一定规律分布的虚拟力和虚拟位移，作为基本未知数，建立离散化的方程，待求出这些变量后再计算边界及域内的位移和应力。

3边界元法在岩土力学中的应用

边界元自问世以来，在岩土工程中得到了广泛的应用。特别是其与有限元、边界元的耦合也在分析岩土工程的实际问题中发挥了重要的作用。

3.1边界元在土钉墙中的应用

在深基坑工程支护方式中，土钉墙(有人称为喷锚网)在越来越多的工程中被采用。一般方法将主动区视为刚性体，用安全系数数值的大小来判断土钉墙是否安全可靠。在实际工程中，土钉墙主动区并非刚性体，随着开挖深度等因素的不同，它发生大小不同的变形，因此极限平衡法的应用有一定局限性。也有人用有限元法分析土钉墙的稳定性，用位移或应力值的大小反映它的受力机理和状况。尽管在一定程度上比极限平衡法要合理一些，但它与在工程中广为应用的安全系数直接联系起来较为困难，加之在计算过程中所需土体参数常规试验不易确定等因素，在工程中的应用时也受到一定限制。对深基坑工程中土钉墙力学性状分析，提出了用边界元法进行数值分析，较好地避免了以上方法的局限性，在实际工程中具有较好的应用前景。通过由土钉墙极限平衡法得到的滑裂面的位置将土钉墙离散为主动和被动两区域，对线弹性边界元法进行耦合、弹塑性处理，提出了具有土钉墙安全系数意义上的弹塑性边界元法。通过实际工程应用，证明其为一种合理的方法。此时的土钉墙边界元法，适用于均质土且不考虑地下水影响的深基坑开挖土钉墙分析。与有限元法相比，该法计算工作量大为减少，需要原始数据较少，而且所有在计算过程中所需参数都易获得，而且该法所计算的应力、位移等数据，与传统的极限平衡法相联系，同样可以求得滑裂面处的安全系数，而且还能求得土钉本身的安全系数，较好地解决了极限平衡法无法考虑变形、有限元法与安全系数相联系较困难这一矛盾。

3.2桩土共同工作的桩基内力分析有限一边界元法

在岩土工程中，桩基础是常用的基础形式。尤其在某些桥梁结构(如连续刚构桥)中桩基顶的变位大小对刚构墩身的柔度有很大的影响，进而影响整体结构的内力分配，故考虑桩一土结构相互作用的分析方法进行结构分析对于墩身内力计算是非常必要的。目前，在基础工程的设计计算中，还普遍采用传统的数值解法，计算繁杂。边界元代表桩周围参与受荷工作的土体(包括桩侧土体和桩底持力层)。桩在横向外力作用下，桩侧土体受到挤压，主要产生水平位移，因此桩侧土体可看成一系列水平线性边界元。对一般的中长摩擦桩，桩底截面不仅产生水平位移，而且还产生转动，并在轴向压力和桩身自重作用下，还会产生竖向位移，因此持力层可看作3个边界元。考虑边界元后，只是在原结构刚度矩阵对角线上有边界元处累加进该边界元刚度系数，对原结构刚度矩阵的大小并没有影响。采用有限一边界元法可解决基础工程问题，特别适合于桩基工程的实际应用，使用面宽，应用范围广。

在实际工程中的应用，还包括用边界元分析对非织造的土工织物拉伸性能的影响、边坡稳定、土的固结问题和渗流问题等。

4结语

边界元法作为一种有效的数值方法的出现尚属近十数年的事。它的最大优点在于可以将所考虑问题的维数降低一维，这就使计算上工作量大为减少。这种方法在解决岩石力学问题方面，由于求解咬往往是无限的或半无限的，所以比有限元法和有限差分法有不可比拟的优越性。边界元法不但输入数据准备简单，计算工作量小，而且结果容易整理，特别适用于微型机，可以用小机器解决较大的问题。

参考文献:

[1]稽醒.边界元法进展及通用程序[M].上海：同济大学出版社，1997

[2]杨育文，袁建新.土钉墙力学性状及其边界元法分析[J].城市勘测，2010(1)