巧设未知数解应用题

巧设未知数解应用题

李艳霞

李艳霞（河北省武安市武安镇宋二庄中学）

摘要：新课程标准要求学生“能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会议程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。列方程时，恰当地设未知数很重要。

关键词：巧设未知数

设未知数的方式有：设直接未知数、设间接未知数、少设未知数、多设未知数四种；下面就举例说明这四种情况。

1设直接未知数

根据题目的要求，求什么设什么，求几个设几个。

例1：（2009咸宁）某企业开发的一种罐装饮料，有大、小两种包装，3大件4小件共装120罐，2大件3小件共装84罐，求每大件与每小件各装多少罐？

解：设每大件装x罐，每小件装y罐

由题意得：

3x+4y=1202x+3y=84

解得x=24y=12

答：每大件装24罐，每小件装12罐。

2设间接未知数

有些问题如果设直接未知数很难列出方程，若我们把既便于列方程又与所求的量有一定的转换关系的未知量作为未知数设出，再由所设的未知数的值求出所求的量。

例2：（2009湖州）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车拥有量达到100辆。若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的平均增长率都相同，求该小区2009年底家庭轿车将达到多少辅辆？

分析：本题若直接设2009年底家庭轿车的拥有量，则无法列出方程。如果我们设2006年底到2008年底家庭轿车的平均增长率为x，则2009年底家庭轿车将达到100(1+x)辆，这样问题就迎刃而解了。

解：设2006年底到2008年底平均每年增长率为x

由题意得：

64(1+x)2=100

解得：x1=0.25x2=－2.5（不合题意，舍去）

2009年底：100×（1+25%）=125辆

答：该小区2009年底家庭轿车将达到125辆。

3少设未知数

为了少列方程，好解方程，可将一个未知数用另一个未知数的代数式表示，从而减少设未知数的个数，即所设的未知数少于所求的量的个数。

例3：（2009益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本。求每支钢笔和每本笔记本的价格。

分析：本题要求钢笔单价和笔记本半价这两个未知量，若设直接未知数则要列两个方程，由题意知钢笔的单价与笔记本的单价有一定的关系，因此，只要设出每本笔记本为x元，则每支钢笔要（18－3x）元

解：设每本笔记本x元，则每支钢笔（18－3x）元

由题意得：

5x+2(18－3x)=31

-x=-5

x=5

18－3x=18－3×5=3

答：每支钢笔3元，每个笔记本5元。

4多设未知数

在有些问题中，虽然所求的量只有一个，但求知的量却较多，若只设一个未知数，是无法列出方程的，因此，可以从中选出部分未知的量设出，即设辅助未知数，然后在解方程时将所求的量或表示所求量的代数式求出即可。

例4：（2007保定）已知2个香蕉的重量等于5个橘子的重量，3个橘子的重量等于2个梨子的重量，则3个香蕉的重量等于几个梨子的重量？

解：设1个香蕉的重量为a千克，1个橘子的重量为b千克，1个梨子的重量为c千克，3个香蕉的重量等于m个梨子的重量

由题意得：

2a=5b①3b=2c②3a=mc③

由①得：a=5/2b④

由②得：c=3/2b⑤

把④、⑤代入③得：

3×(5/2b)=m×(3/2b)

解得m=5

答：3个香蕉的重量等于5个梨子的重量。