离散系统非线性行为的描述与建模

离散系统非线性行为的描述与建模

郑大路

（新疆维吾尔自治区石河子大学，新疆石河子832000）

摘要：综合已给数据，使用最小二乘法，非线性拟合的方法，建立非线性回归模型，描述离散系统的非线性行为函数，并利用傅里叶变换，研究系统非线性行为的优化并分析模型的鲁棒性。

关键词：无线通信系统；最小二乘法；非线性拟合；傅里叶变换

一、问题的提出

无线通信系统的电子电路或多或少存在一定的非线性效应，这种非线性行为会导致接收信号产生失真。由此对这种非线性现象的精确描述与建模对通信电路的设计有重要的意义。另外由于在通信电路中存在储能元件。此时系统的输出不仅依赖于系统当前时刻的输入，也依赖于之前若干时刻的输入。虽然上述非线性行为描述和建模的方法很多，但都有一定的局限性，往往在工程实现的时候要综合考虑计算精度和算法鲁棒性等。考虑一个输入和输出均为离散信号的系统，附件给出了一组输入信号幅度和输出信号幅度的测量值，请研究下述问题：

问题1：对附件中的数据集，建立输入和输出之间的数学模型。

问题2：通过对输入信号进行一定的预处理，可以保障系统的最终输出和输入之间呈现线性关系。一般情况下，在通信电路中，输入信号的幅值是受限的，也就是说其峰值要小于某一个值。在峰值受限的情况，建立模型研究输入信号的预处理。

问题3：对问题1、问题2模型中提出的方法进行精确度和鲁棒性的分析。

二、非线性回归模型的建立

（一）线性系统的假定

根据附件数据，作输出/输入关于序列N的图像，得图1，N=0~800时系统可近似为线性。

图1：输出比输入的值随N的变化

因此假定此时该系统为常系数线性离散系统，其一般形式为：

（1）

（二）最小二乘法辨识系统

离散系统的模型已知，为线性差分方程，需要辨识的内容包括系统的阶次n，延时d，以及系数。所以可以将辨识分为两步，第一步辨识系统的延时d，通过计算残差平方总和J和d的关系，分析J最小时对应的d即为该离散系统延时。第二步假设系统的阶次n=7，使用递推最小二乘法计算并观察系数。

将N=0—800数据带入程序，得结果如下：

依图延时d取1时，J最小。

1.辨识系统的d确定之后，再利用增广递推最小二乘法确定参数。

则常系数线性离散系统的输出与输入的关系为：。

（三）非线性行为的拟合

根据附件数据，作输出与输入的图像，如图4，当输入幅值大于某个阀值后，系统开始出现非线性效应，

出现非线性效应时，输出比输入的比值小于3，即输出衰减，设此时系统形式为：

图像如下：

二、非线性行为的频域分析

离散系统的傅里叶变换为：

对输出和输入数据分别作傅里叶变换，输出与输入的幅值比与频率的关系如下图：

依图6，当频率W在[kπ,（0.5+k）π],[（1.5+k）π,（2+k）π]，（k=0，1，2...）区间上时，输出与输入的幅值比不为3，即此时出现非线性效应。

输入数据的幅频特性曲线如下：

依图7，则W在[kπ,（0.5+k）π],[（1.5+k）π,（2+k）π]，（k=0，1，2...）区间上对应的幅值是引起非线性效应的原因，此时利用Matlab，在输入的频谱上加入数字滤波器，只保留[（0.5+k）π,（1.5+k）π]的分量，过滤掉其余频率的分量，即完成了对输入幅值的限制。

对过滤后的结果进行傅里叶逆变换：

得幅值限制后的输入，将它带入（3）式得到输出，则峰值受限时输出与输入幅值比如下图：

计算得输出与输入的幅值比最大值为：3.198，最小值为3.186，平均值3.190，均差为0.0015，可近似于0。此时离散系统可近似为线性系统，表达式为，接近理想线性离散系统。

三、系统误差率和鲁棒性分析

在Matlab中，利用awgn函数向输入和输出分别加入噪声比(输入信号与噪声的比，单位dB)50dB，30dB的白噪声，

下图为第一问，无噪声、50dB白噪声、30dB白噪声的拟合图像

第一问中，噪声比为50dB时，误差很小；噪声比为30dB时，b，c参数的估算出现较严重误差。

第二问中，无噪声时，输出与输入幅值比平均值为3.1902，均差为0.0015。

噪声比为50dB的白噪声时，幅值比平均值为3.1902，误差率0；均差为0.0016，误差率近似0。噪声比为30dB的白噪声时，幅值比平均值为3.1902，误差率0；均差为0.0048，误差率220%。

图10为第二问，无噪声、50dB白噪声、30dB白噪声的输出与输入幅值比图像：

图10：加入噪声后的输出/输入第二问中，输出输入比均值相同，噪声比50dB时，结果不变；噪声比30dB时，输出输入比的均差增加了220%。但由于均差还是十分小（0.0048）近似0，可认为此时结果仍是线性系统，且比例系数与无噪声时相同（3.19）。

综上，噪声比50dB时，一二问结果几乎没有变化，30dB时第一问误差明显，可见本题的方法有较强的鲁棒性，且第二问方法的鲁棒性优于第一问。

参考文献

[1]司守奎，孙兆亮．数学建模算法与应用[M].2版．北京：国防工业出版社，2012．

[2]郑里军．信号与系统（下）[M]．3版．北京：中国水利水电出版社，2012．

[3]梁博尧.浅析最小二乘法及其在数学建模中的应用[J].中国新通信,2018,20(03):197-199.