数列问题之我见

数列问题之我见

池新渊

福建省三明市尤溪五中365100

摘要：数列问题丰富多彩，有时通过构造数列去解有关数学问题，能起到化繁为简，曲径通幽的效果。本文就是通过几个案例，让大家感受构造数列的美妙性。

关键词：构造数列高中数学

数列是高中数学重要内容，也是高中数学中重要的考点。数列内容丰富，它不但可以单独命题，也可以与函数，不等式等内容相联系。创造性的构造新数列，不仅可以解决单纯数列问题，还可以解决有些有关函数最值及不等式问题。数列题孕含着丰富的数学思维，因此是历年高考必考的知识内容。

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n。

（1）bn=，证明：{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的前n项和。

一、题目的立意

本题考查了等差数列的证明，利用递推式求数列的通项公式，数列求和，构造新数列，待定系数法，化归转化等高中数学中常见的数学方法与数学思想。其中运用递推式求通项公式是近几年高考的考核重点。

二、问题的解法

分析：本题（1）的证明就是形如：an+1=pan+qn的通项的求法，它的核心就是构造一个新的等差或等比数列。本题中在等式两边同除以2n，就可得到：=+1，这样就可以构造成了一个新的等差数列，进一步求出问题的结果。我们再看一道题：

若数列{an}的前n项和为sn，a1=1，sn+1=4an+2。

（1）bn=an+1-2an，求{bn}的通项公式；

（2）求数列{an}的通项公式。

分析：不难获得数列{bn}是首项b1=3，公比为2的等比数列，∴bn=an+1-2an=3·2n-1,∴an+1=2an+3·2n-1两边同时除以2n+1得-=，数列{an}是首项为，公差为的等差数列，∴＝+(n-1)=n-,an=(3n-1)2n-2。

应该说两题有异曲同工之妙，贵在构造新数列。常用的解题策略之一就是如上两题带给我们的方法同时除以qn。与上述类似的题型是给出递推式an+1=pan+f(n)型，求通项公式，此类型的求解常用待定系数法，构造出新数列。

例1，a1=1，an+1=an+n+1，则{an}的通项公式。

分析：本题不能通过两边同除以qn去解决，应该利用待定系数法的思想去构造新数列。

an+1-x(n+1)+y=(an-xn+y)，∴an+1=an+n+x-，∴，∴，∴an+1-2n=[an-2（n-1）]，∴{an-2（n-1）}是等比数列且公比为。a1-2（1-1）=a1=1，∴an-2（n-1）=（）n-1，∴an=2（n-1）+（）n-1。

有关递推式求数列通项问题，常用的还有以下几种变式。

三、问题的变式

变式1：型如an+1=pan+q（p,q为常数）。这种类型的求解也是利用待定系数法，构造出新的等比数列来进行求解。

例2，已知a1=1，an=an-1（n≥2）则an=______。

分析：在这一问题中，可以令an+m=（an-1+m），解得m=-2,即an-2=（an-1-2），所以=（n≥2），又a1-2=-1，因此{an-2}是首项为-1，公比为的等比数列，则an-２=-（）n-1，an=2-（）n-1。

变式2：an+1-an=f（n）型通项公式。

例3，数列{an}各项为整数，a1=1，点（an，an+1）为函数y=x2+1上的点。

（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2n，求证bnbn+2＜b2n+1。

分析：从条件可得an+1=an+1，数列是等差数列且以1为首项，公差为1。即an=1+（n-1）=n，因此bn+1-bn=2n，所以bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1，则bnbn-2-b2n+1=（2n-1）（2n-2-1）-（2n+1-1）2=-5·2n+4·2n=-2n<0。

变式3：型如=f（n）型与an+1-an=f（n）型相类似，可以采用累积法。

例4，正项数列{an}中，a1=1，（n+1）2an+1-nan2+an+1an=0（n=1，2，3，l），则an=______。

分析：已知等式可化为（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0，因为an>0，所以（n+1）an+1-nan=0，∴＝，∴＝（n≥2），可以通过累积法求该数列的通项公式。

四、问题的拓展引申

以上给大家介绍了如何利用数列递推式求数列通项公式。不论哪种类型，最核心的环节就是善于观察递推式的结构特征，构造新数列。而这样的构造思维不仅在求数列通项公式的时候经常应用，在解决一些最值及不等式问题时，若能熟练构造数列去解决问题，能起到化复杂为简单的效果。

参考文献

[1]苏海清《课堂教学中培养学生数学直观思维能力的研究》.《山东师范大学》，2013。

[2]陈文胜《问题解决及其对数学教育的启示》.《福建师范大学》，2012。

[3]陈丽波《初高中数学衔接教学的实际与研究》.《苏州大学》，2013。

[4]彭美艳《农村初中数学思想方法的教学研究》.《湖南师范大学》，2011。