HPM视域下“对数概念”教学设计

HPM视域下“对数概念”教学设计

孙若涵

孙若涵（聊城大学数学科学学院山东聊城252000）

摘要：研究对数的历史，充分发掘对数思想方法的历史沿革，并将其转换为教育形态，重构教学，以期发展学生的核心素养。

关键词：对数;HPM;数学史;教学设计

中图分类号：G662.7文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2018）06-119-02

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在教学建议中指出：“在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养；将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于学生开拓学生视野、提升数学学科核心素养。”[1]数学史作为数学文化中最具显性特征的重要组成部分，其教育价值最大。所以，越来越多的数学教育工作者在数学教学中重视渗透数学史，充分体现数学史的教育价值。下面以“对数”为例，重构HPM视域下“对数概念”的教学，发挥其方法论的启迪作用。

一、对数的发展历程

（一）对数的产生

早在公元前300年，古希腊数学家阿基米德已经认识到等差数列和等比数列之间的对应关系，并提出指数律。[2]波伊提乌(A.Boethius，480?-524)在写于1480年的德雷斯顿手稿中，类似于阿基米德的做法，作者给出了同底数幂乘积的求法。稍后的法国数学家许凯(N.Chuquet，1445-1488)在其《算学三部》中给出了双数列之间的对应关系。[3]1544年，德国数学家斯蒂菲尔(M.Stifel，1487-1567)在他的论文《整数算数》中描绘出如下结论:等比数列各项的乘法、除法、乘方、开方运算可以分别用等差数列及其对应项的加法、减法、乘法、除法来替代。也就是说斯蒂菲尔实际上给出了对数的运算性质。[4]并且，他的关于等差数列和等比数列对照的想法其实相当于解指数方程。[4]斯蒂菲尔提出用级数思想简化乘除运算。

由于测绘、航海和天文学等的迅速发展，对计算的速度与准确度的需求与日俱增，简化计算势在必行。因此，纳皮尔(J.Napier，1550-1617)致力于构造一个表把乘法转化为加法。他采用了十分接近于1的公比，将递减等比数列与首项为0，公差为1的等差数列相对应，保证在一定范围内相邻两项的间隔非常小，在该范围内小于10的任何整数均可在同一等比数列中找到。这样，就可以利用对应关系来简化乘除运算了。[2]1614年，纳皮尔在《奇妙的对数定律说明书》中阐述了如何使用对数表;他的第二本关于对数的著作《奇妙的对数法则的构造》，在他逝世两年之后于1619年出版，其中陈述了造表所依据的理论，用几何学构造一个表来改进计算。[5]

（二）对数的发展

英国数学家布里格斯(HenryBriggs，1561-1630)建议对纳皮尔的对数进行改进，他认为以l0为对数的底数运算起来更为方便，导致了“常用对数”的创立。1624年，布里格斯出版了l4位常用对数表。[6]常用对数表的制成使得计算更加可行，且更加简单。接着，布里格斯与荷兰书商弗拉格(1600-1667)通力合制了14位对数表，完成了1～100000的对数计算。[2]对数由17世纪波兰传教士穆尼阁(J.N.Smogolenski，1611-1656)传入中国。“对数”一词最早出现于明代数学家薛凤祚(?-1680)根据穆尼阁所授编成的《比例对数表》。[3]17世纪，笛卡儿发明了幂的记号，指数概念才应运而生，直到17世纪末，才有人认识到对数可以定义为幂指数。[7]虽然对数的发现早于指数，但直到18世纪，数学大师欧拉理顺了指数与对数的关系，提出了“对数源于指数”之后，对数才被世人广泛接受。[2]并且，他给出了一个不太完整的对数定义:设是一个固定的数，如果，则称指数为的对数，记为。[4]

从对数的发展历史来看，每位数学家都在致力于简化计算:乘除→加减→对数表的制定。在这个过程中，数学家们苦思冥想，或用级数思想研究，或用几何学研究，这些都是思想的进步、方法的创新。我们将基于对数的历史，针对对数重构的几个环节，设计对数概念的教学。

二、“对数概念”的教学设计

（一）对数的历史及重构:

对数历史演变与HPM重构顺序图

（二）教学设计

1.创设情境，提出问题

已知299792.468(km／s)是光在真空中的速度，31536000是一年的总秒数，因此两数的乘积就是一光年的大小．光年是天文学单位，天文学中计算的数据就是以这个数据为基础的。[8]

问题1:299792.468×31536000=?

问题2:光在真空中1天所经过的距离呢?（纸笔计算）

问题3:在16世纪，如果科学家在天文学、航海中遇到这些复杂的计算问题，该怎么办?

学生活动:小组交流得到统一观点:简化计算。

教师活动:教师利用PPT展示并详细讲述数学家阿基米德、斯蒂菲尔、纳皮尔等人为简化计算而做得努力，说明古人在遇到了复杂的计算时由衷地希望简化运算的迫切心情，进而使得数学更好地服务于现实生活。

设计意图:首先，以天文学中计算难度系数大入手，切身感受古人在面对复杂计算时想要解决问题的急切心情，强调寻找简化运算的必要性;其次，为呈现新知做铺垫，使新知的展现不会显得突兀;最后，穿插数学家的故事，激发学生学习积极性，为学生愉悦地接受新知打下基础。

2.古为今用，初步探索

1714年，德国数学家斯蒂菲尔研究了两行数[9]（见下表）。

问题4:观察上表，我们会发现什么规律呢?

学生活动:小组交流探讨得出规律。

教师活动:首先肯定学生的规律。之后，教师进行归纳总结:假设第一行的数为，那么第二行与之相对应的数为。

设计意图:匈牙利著名数学家和数学教育学家波利亚指出:“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。”正如波利亚所说，只有学生亲身体验过规律或新知的发现过程，才能更好地接受新知，对新知的获得过程做出更利于自己的判断。其次，教师对学生得出的规律肯定的同时，也是对学生的一种肯定和鼓励，增强学生自信心，这是学生探索新知的动力源泉。

问题5:结合下面4个小题，我们根据上表会发现哪些简化计算的方法？

学生活动:独立思考，小组交流，得出猜想。

教师活动：肯定学生的猜想。并指出学生的想法与数学家的想法不谋而合。

设计意图:第一，帮助学生重走数学家的思维过程，经历数学方法的发展过程及其严谨性；第二，肯定同学们的猜想，并归纳总结纳皮尔:第一行数的加减运算结果与第二行数的乘除运算结果之间存在着对应关系，如;第三，根据讨论所得的上述规律，及时运用巩固;第四，在学生未形成对数概念时，给出特殊案例，由易到难，由特殊到一般，为接下来用指数的知识推导对数的概念做铺垫，也符合学生的认知顺序。

3.激流勇进，知识再探

问题6:36×365能用上述规律解决吗?

学生活动:36×365不能表示成的形式，36,365也不能表示成的形式。不知道怎么做。

师生共同探索:利用计算机计算，分别把36,365表示成的形式。结果发现，只要数据足够多，我们会做出对数表。而且，简化运算不一定以2为底。

教师讲述数学家为制作对数表几十年如一日的艰辛，也有为制作对数表奋斗一生的楷模。同时利用PPT展示部分对数表。

设计意图:首先，学生要体会到对数发现、发展到成熟的艰辛与曲折。其次，对一个简单的小题进行体验，加深了对其的理解，避免对对数的认知产生偏差（底数不一定是2）。最后，发展学生思考的能力，促进数学思维的发展，培养锲而不舍的精神。

4.归纳总结，概念形成

教师:经过对一系列问题的探讨，总结出对数的概念:一般地，如果那么数叫做以为底的对数

其中叫做对数的底数，叫做真数。

根据对数的定义，可以得出对数与指数的关系:当时，。

设计意图:首先，教师总结出对数的概念，为学生展现完整且正确的对数概念，为学生的知识体系“加餐”，学生的知识建构更加完整。其次，明确概念为以后的应用奠定基础，避免不必要的错误。

大数据时代，对数知识的科学价值几乎丧失，之所以课标选择对数内容，就在于它的方法论的价值。重温历史，还原其教育形态，让学生在遇到复杂计算时，经历如何重新构想问题、分析问题、解决问题的过程，感受思想方法的演变与创新。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社,2018:82.

[2]张红.数学简史[M].北京:科学出版社,2007.

[3]汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].北京:科学出版社,2017.5:128-132.

[4]林永伟,叶立军.数学史与数学教育[M].杭州:浙江大学出版社,2004.04:123.

[5]VictorJ.Katz.李文林等译.数学史通论(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2004:325.

[6]徐品方,张红.数学符号史[M].北京:科学出版社,2006:271-272.

[7]钟萍,汪晓勤.对数概念:从历史到课堂[J].中学数学月刊,2015(5):50-53.

[8]邓真峥.HPM视角下对数概念的教学设计[J].福建中学数学,2015,12:14-16.

[9]江灼豪,张琳琳,何小亚.基于数学史的对数概念教学设计[J].中学数学研究,2015,5(上):10-12.