求解二次函数解析式

求解二次函数解析式

伊翠叶

山西朔州市山阴古城中心校伊翠叶

二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容．现以部分题为例介绍几种求二次函数解析式的常用方法，以期对同学们学习有所帮助．

二次函数中含有两个变量x、y，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形，二次函数常见的表达形式有：

（1）一般式：；

（2）顶点式：，其中点（m，h）为该二次函数的顶点；

（3）交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点．

通过描点，观察、（其中点（m，h）为该二次函数的顶点）、（其中点为该二次函数与x轴的交点）的图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式．

一、根据定义求

例1已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示．求抛物线的解析式，写出顶点坐标．

图1

分析由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标．

解设所求抛物线的解析式为．由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）．

[讲评]这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息．已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式．要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围．

二、借助所给点的坐标求

例2.一条抛物线求这条抛物线的解析式．

分析：解析式中的a值已经知道，只需求出m,n的值．已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答．还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x=2，这样又可以从抛物线的顶点式入手．

[讲评]当点M（则对称轴方程为，这一点很重要也很有用．

三、借助所给图象求

例3如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）．以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）.

图2

分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标．显然，由已知条件可以求出点A与点B的坐标．由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式．

解：设AB与x轴交于点C，可知．

过点B作轴于点D

[讲评]解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式．

例4如图3，在直角坐标系中，以点A为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．若抛物线经过B，C两点，求抛物线的解析式，并判断点D是否在抛物线上．

图3

分析：解题的关键在于求出点B和点C的坐标，因此需要求出线段OB，OC的长，这可根据圆的性质解决．由于点B与点C都在x轴上，因而可以根据二次函数的交点式求出其解析式．

[讲评]解这类题将点的坐标与线段的长互相转化至关重要，但要注意坐标的符号．