利用性质，化繁为简，快速解题

利用性质，化繁为简，快速解题

张素平

江苏东海县白塔中学张素平

解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，重点考查坐标法和运动、变换的思想，考查内容不仅体现在曲线与方程等解析几何内部知识的运用中，而且需要大量运用解析几何以外的知识，如函数、不等式、方程等，这类试题的特点是条件多、知识多、设问多，这就要求善于捕捉关键信息来探明题意、思路，善于充分利用形的直观优势，并能把形转化为数，从而归结为某类代数问题来解决，善于抓住疑难设问进行重点突破，使隐含条件清晰化，复杂背景明朗化，综合问题简单化，从而有效地达到目的。

一、直接利用定义、性质判断曲线形状并加以求解

例1直线1和2交于点M,，以定点A、B为端点的曲线段C上任一点到距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形,，建立适当的坐标系,求曲线段C的方程．

分析：学生在解该题时首先在建立直角坐标系时有不同意见。一类学生被题中两垂直直线的条件所迷惑，直接以这两直线为坐标轴建立直角坐标系；另一类学生则比较注重研究题设条件，能充分利用“距离相等”这一条件，联系抛物线的概念与性质，建立适当的直角坐标系，使得解题里过程简单化。其次在解题过程中，部分学生容易忽略题中的隐含条件如“为锐角三角形”、“曲线方程”这一概念本身所涉及的未知数的范围问题，在解题时放宽条件，不知取舍，从而导致解题过程不严密，所得结果不纯粹。通过学生课堂上的辨析，不仅使学生从隐含条件的“陷阱”中跳出来，增强了防御“陷阱”的能力，更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地加以辨析，取得学习的主动权。

二、弄清条件，恰当地利用条件，选择方法

例2如图，给出定点A（a,0）(a>0)和直线：x=-1，B是直线l上的动点，的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示曲线类型与a的关系。

.

分析：本题研究动点的轨迹问题，首先相当一部分学生理不清动点C的运动规律，故而不知何从下手。所以在解题时首先得由学生讨论动点C是如何运动的。弄清点C的运动是由点B引起的，而点B之所以运动是因为其纵坐标在变动，而横坐标不变，因此应该选择B点的纵坐标作为参数来建立点C的方程。其次由于本题采用参数法求轨迹方程，这个方法往往要经过“设参”、“用参”、“消参”等几个步骤，而在消参的过程中，计算就显得尤为重要。学生在解答过程中如果方向不对，则会导致“有思路，没结果”的尴尬境地。只有在不断尝试、不断分析、不断讨论的过程中充分注意到参数的“桥梁作用”，对参数b采取“设而不求”，则可以简化求解过程。

三、充分利用几何图形性质

充分利用平面几何中直线、三角形、圆等平面图形的性质、结论，不仅是解决圆锥曲线问题的重要的有效的方法，而且能简化计算，达到事半功倍的效果。

例3设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是

.

略解：如图不妨设圆经过双曲线左焦点F1，所以线段的中垂线不可能与双曲线相交，此时圆只能经过左顶点A1，且圆心在线段F1A1的垂线上而a=3,b=4故c=5所以圆心C的横坐标为-4，代入双曲线方程c得,则。

本题如撇开图形凭空研究，则很难把握圆的对应位置，有些学生考虑设圆的方程，结合条件求出未知元，这未尝不是一种方法，但如能结合图形，圆可能处的位置就显而易见，而要获得结论也就容易得多。

四、设而不求，整体代换

对有些解几问题，设置的求知元有好几个，而根据所列方程把每个求知元求出比较困难，或根本求不出。可以考虑把某些量组成“集成块”，整体求出，减少运算量。

例4．椭圆的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的方程为____________。

在这个问题的求解过程中，大多数同学想到的是利用直线的点斜式，因为根据条件学生很容易选择采取这种“通法”；而平常思维并不很活跃的学生提出设直线的两点式进行求解。这时，相当一部分学生认为这是一种“笨办法”，作为老师这时应及时抓住这个思维闪光点，适时引导，充分尊重学生，营造一个民主、平等、和谐的氛围，让学生充分发表自己的见解，而事实上，“两点式”的这种方法在这里是非常行之有效的。把点A、B的坐标所满足的题设条件与所需要的直线的斜率紧密结合起来，即利用中点所满足的关系整体代换，再利用斜率的公式整体求出。从而得出“设而不求，整体代换”这种解题思想。（解略）

建构主义的核心观点是，教师要给学生提供活动的时空，让主体主动构建自己的认知结构。所以在教学活动中，教师只有充分发挥主导作用，引导学生进入主动学习这一较高层次的探索学习境界，强调学生主动学习，从而达到较好的学习效果。