数学网格局部细化在数值流形方法中的应用

数学网格局部细化在数值流形方法中的应用

王孝兵

中石化石油工程设计有限公司山东东营257026

摘要：对于裂纹问题，在数值流形方法的前处理中，数学网格选取的最基本原则为裂纹必须完整地切割一个数学覆盖；在模拟裂纹尖端应力奇异性时，仍需要满足某一个物理覆盖不能同时作为构成两个或者多个不同裂纹尖端所在奇异流形单元奇异物理覆盖的要求。对于规则的正三角形数学网格，当所研究裂纹尺寸很小时，就意味着数学网格的密度要相应地增大，自由度增多，势必会影响计算效率。为了克服这一缺陷，在裂纹尖端及附近区域采用较密的数学网格，其他区域过渡到较粗的数学网格。算例结果表明，这样做不仅节省了大量的自由度，提升了计算效率，而且也保证了同样高的计算精度。证实了数学网格局部细化的可行性。

关键字：数值流形法；裂纹扩展；应力强度因子；局部细化

Keywords：numericalmanifoldmethod,crackpropagation,stressintensityfactor,localrefinement

1.引言

数值流形方法（NMM）[1]，将有限元（FEM）和非连续变形分析[2]（DDA）结合到一起，实现了连续和非连续变形分析的统一。对于研究者和工程师来说，能够对复杂的裂纹问题进行模拟，并定量地预测出含裂纹结构体在运营条件下的生命周期是非常重要的。因此，基于NMM方法的优越性，利用NMM来计算裂纹尖端的应力强度因子，以便利用断裂力学方法来预测裂纹扩展方式。文献[4]已将NMM用于相关研究，采用了0阶的位移基函数，但是从收敛性分析可见，应力强度因子要达到相当高的精度，需要极其细密的网格，也就意味着大量的自由度，随之而来的就是计算效率的低下。文献[5]在高阶NMM方面做了相关研究，结果显示，即便在低网格密度下，1阶位移基函数达到了同样高的计算精度。因此本文选用1阶位移基函数。NMM前处理中，数学网格密度的选择并不是任意的，最低要求要保证裂纹能够穿过一个整的数学覆盖，以便模拟裂纹两侧的不连续性。文献[4]的算例可见，为了适应裂纹尺寸，都加大了数学网格的密度。试想如果裂纹非常的小，那么数学网格也要随之相应地加密，以达到最基本的计算要求，这时所产生的自由度的量值将会无比的大，计算效率可能会急剧地降低。上面都是针对规则的数学网格。因此，在满足计算精度的前提下，能否考虑在裂纹尖端及附近采用较细密的网格以达到生成流形单元和能够模拟不连续的最基本要求，而在其他区域相应地过渡到较粗的网格，以减少自由度，提高计算效率呢？针对该问题，本文进行了相关研究。

2.问题的提出

在生成流形单元或模拟裂纹两侧的不连续性时，数学网格尺寸必须要达到一定的要求。也就是说裂纹要整个地穿过某一数学覆盖，才能模拟出两侧的不连续性，同样这也达到了生成流形单元的要求。

由此可见，对于不同的裂纹形式，需要选择不同的数学网格密度，两者要相互适应。那么这就意味着，如果裂纹尺寸过短，那么能够适应裂纹尺寸的最小的数学网格密度也要相应的增多，相应的自由度增加，计算量也要增大。结果就会导致计算效率的低下以及自由度的浪费。因此尝试在裂纹尖端加密数学网格，而在其他区域选择相对稀疏的网格密度，这样既能节省自由度，提高计算效率，也能达到同样高的计算精度。

3.算例及结果

本文对含中心倾斜裂纹平板、矩形平板的三条分支裂纹两种典型实例进行计算。

3.1计算模型

如图1（a）所示，为受单位拉伸荷载的含中心倾斜裂纹矩形平板。平板尺寸为：w=20mm,mm,。该问题的解析解为[6]：。

如图1（b）所示，为含分支裂纹的矩形平板受单轴拉伸作用，拉伸方向垂直于主裂纹。矩形平板的宽度为2w，高度为2H。w=20，H=16。主裂纹的长度a=1，支裂纹长度b=1，角度。裂纹尖端A和B的应力强度因子为：，，，据参考文献[4]，=1.044，=0.495，=0.506。

3.2计算结果

3.2.1含中心倾斜裂纹平板

（1）规则网格

为了达到最基本的数学网格尺寸要求，数学覆盖系统要求裂纹仅通过了一个数学覆盖，该系统生成的流形单元数为最小，自由度也最小。当使用高阶流形元计算时，总的自由度数为：6228。

（2）不规则网格

采用较稀疏的不规则网格时的数学网格划分，总的自由度数为：1366。可见只是规则网格的21.9%。归一化后的计算结果如表1所示，达到了非常高的计算精度。

虽然不规则的网格密度有所变化，但是结果波动很小，表现了很好的网格无关性。计算结果的精度非常高。

5.结论

在数值流形方法中，针对短小裂纹模拟时，数学网格的尺寸要满足一定的切割要求才能够生成合适的物理覆盖，以便于模拟裂纹两侧的不连续性。经典数值流形方法采用的规则三角形网格，当需要与短小裂纹进行匹配时，网格的密度必然会很大，计算中将会占据极大的计算机内存以及影响计算效率。针对这一难题，本文所提出的数学网格局部细化方法，仅在裂纹附近采用较密的网格，采用逐渐过渡的方式在远处采用较稀疏的网格，不仅满足了计算精度的需求，更是减小了计算内存，提高了计算效率。通过典型的断裂力学算例证实了本文方法的有效性及正确性，为数值流形方法处理短小裂纹问题提供了一条可借鉴的途径。

参考文献

[1]SHIGH.Manifoldmethod[C]//ProceedingsoftheFirstInternationalForumonDiscontinuousDeformationAnalysis(DDA)andSimulationsofDiscontinuousMedia,TSIPress,Albuquerque,NewMexico,USA,1996:52–204.

[2]SHIGH，GOODMANRE.Two-dimensionaldiscontinuousdeformationanalysis[J].InternationalJournalforNumericalandAnalyticalMethodsinGeomechanics，1985，9(6)：541–556.

[3]ZiG,BelytschkoT.Newcrack‐tipelementsforXFEMandapplicationstocohesivecracks[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2003,57(15):2221-2240.

[4]ZhangHH,LiLX,AnXM,etal.Numericalanalysisof2-Dcrackpropagationproblemsusingthenumericalmanifoldmethod.EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2010,34(1):41-50.

[5]XUDD，ZHENGH.Meshindependencetestofnumericalmanifoldmethodintreatingstrongsingularity[C]//Proceedingsof11thInternationalConferenceonAnalysisofDiscontinuousDeformation.Japan，Fukuoka：[s.n.]，2013，91–96.

[6]SIHGC.Energy-densityconceptinfracturemechanics[J].EngineeringFractureMechanics，1973，5(4)：1037–1040.