演绎推理解题技巧

演绎推理解题技巧

赵玉霞

山东省寿光市上口镇第一初级中学262700

推理是一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理思想贯穿于高中数学的整个知识体系，是新课标教材的亮点之一。推理一般包括合情推理和演绎推理。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程；演绎推理是逻辑证明的工具，人们可以选取确实可靠的命题作为前提，经过推理证明或反驳某个命题。

以下介绍演绎推理证明问题的基本技巧：

题型一：应用演绎推理概念分析问题

例1：下面几种推理过程是演绎推理的是（）。

A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°

B.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过了50人

D.在数列{an}中，a1=1，an=（an-1+）（n≥2），由此推出{an}的通项公式

解析：根据演绎推理概念可得B是类比推理，C、D是归纳推理。

点评：本题考查演绎推理的概念,常见演绎推理有假言推理和三段论推理等,其本质是由一般性结论得出特殊命题成立的一种思维方式。

题型二：利用三段论推理证明

例2：用三段论证明函数y=-x2+2x在（-∞,1］上是增函数。

分析：证明本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数y=f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1＜x2，则有f(x1)＜f(x2)；小前提是在（-∞,1］满足增函数的定义，这是证明本题的关键。

证明：任取x1、x2∈（-∞,1］，所以x1＜x2，f(x1)-f(x2)=（-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)。

因为x1＜x2，所以x2-x1＞0。

又x1、x2≤1，x1≠x2，所以(x2+x1-2)＜0，

所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)。

于是，根据“三段论”，得y=-x2+2x在（-∞,1］上是增函数。

点评：三段论推理是演绎推理的基本类型的大前提是一般性的规律，小前提是具体事物的性状。由于一般包括了个别，凡是一类事物共有的属性，其中每一个别事物必然具有。所以当前提正确、推理形式合乎逻辑的时候，推出的结论必然是正确的。

例3：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1、x2…xn都有

≤。

若y=sinx在区间（0,π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为______。

解析：由题意知，满足≤

，又y=sinx在区间（0,π）上是凸函数，则sinA+sinB+sinC≤3sin=3sin=。

点评：根据一般性的结论推理特殊函数的结论，属于三段论。

例4：“因为指数函数y＝ax是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理错误的是（）。

A.大前提错误导致结论错

B.小前提错误导致结论错

C.推理形式错导致结论错

D.大前提和小前提错误导致结论错

解析：应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提。本题中指数函数的单调性是大前提，当指数函数为增函数时，底数是有条件的，故大前提错误。

大前提应改为当0＜a＜1时指数函数y=ax是减函数，故结论也改为y=（）x是减函数。

点评：本题考查三段论推理的应用，注意大前提指的是一般性的原理，必须是正确的。

题型三：利用传递性关系推理

例5：某校对文明班的评选设计了a、b、c、d、e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式S=++来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好。若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位而使得S的值增加最多，那么该指标应为_____。（填入a、b、c、d、e中的某个字母）

解析：从分式的性质中寻找S值的变化规律，因a、b、c、d、e都为正数，故分子越大或分母越小时S的值越大。而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多。因为0＜c＜d＜e＜b＜a，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多。

总之，做演绎推理题目必须紧扣题干内容，以题目中的陈述为依据，根据形式逻辑的推论法则推出正确结论。题中的陈述是被假设为正确的，不要对其作出怀疑或否定，给自己解题带来不必要的干扰。对于演绎推理题目中比较难的，多种条件相互制约或是数理逻辑的题目，可以忽略其具体情境，在草稿纸上抽象出其数理模型，加以逻辑运算，这样比较容易得出结论。