数字型排列组合问题概览

数字型排列组合问题概览

姜华

姜华河北省承德市双滦区实验中学067001

解排列组合问题时，经常会遇到有关选数字排数位的问题，本文例述几种常见情形，以体现这类问题的普遍性和重要性。

一、能被特定数整除问题

例1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数中，有多少个能被3整除的四位数？

解析：能被3整除的数的特征是各位数字之和是3的倍数，故符合要求的数有5组：0、1、2、3；0、2、3、4；0、1、3、5；0、3、4、5；1、2、4、5。前四组排成的四位数各有A31A33个，后一组排成的四位数有A44个。故一共有4A31A33+A44=96个能被3整除的数。

例2.从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：取出的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除。这100个数中能被7整除的数有7，14，21，…98共14个，不能被7整除的数有86个。由此可知，从7，14，21，…98这14个数中任取2个的取法有A142种，从其余86个数中任取一个再从前14个数中任取一个，有C141C861种。

两种情形共符合要求的取法有C142+C141C861=1295种。

二、数字和差特殊要求问题

例3.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数字作答）。

解析：可以分为两种情况，一类是个位、十位、百位均为偶数，有C31A33+C32A33C41=90个；另一类是个位、十位、百位上有两个奇数一个偶数，有C32A33C41+C31C32C31=234。

故共有符合要求的四位数个数是：90+234=324。

例4.用0，1，2，…9这10个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值为2，则这样的数共有____个。

解析：还是分类，个位是2千位是0，有A82个；个位与千位是1与3，或2与4，或3与5，或4与6，或5与7，或6与8，或7与9，均有2A82个。

故共有：15A82=15×56=840个。

三、相邻或不邻问题

例5.用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_____个（用数字作答）。

解析：因1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，可以视为三个元素，先做全排列，有A33种。又7与8不相邻，则要插空，有A42种方法，而1和2、3和4、5和6均可各自调换位置，故总共有符合要求的8位数个数是：A33A42×2×2×2=576。

例6.由1，2，3，4，5，6组成无重复数字且1、3都不和5相邻的六位偶数的个数是（）。

A.72B.96C.108D.144

解析：由于是偶数，故末位有C31种选法．之后分类，当5在首位和十位时，共有2A21A33C31=72个；当5在万位、千位、百位时，共有3A22A22C31=36个。

故共有符合要求的数的个数是：72+36=108。

四、数字可重复问题

例7.用0，1，2，3，4，5六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个1的数共有_____个。

解析：符合题意的有两类，一类是1个1，另一类是3个1。

首先说1个的情形，可细分为，形如1xxx，有5×5×5=125个；形如x1xx，xx1x，xxx1的均各有4×5×5=100个，所以1个1的所求四位数共有125+3×100=425个。

再说3个1的，若另一个数字为0，有3个；若另一个数字为2，或为3,4,5，每种情况均各有4个，此类共有3+4×4=19个。

故满足题意的四位数总共有：425+19=444个。

五、表格填充问题

例8.将1、2、3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）。

A.6种B.12种C.24种D.48种

解析：分类，第一步先填第一行，有A33种填法；第二步填第二行，只有2种填法；第三步填第三行，就只能是1种填法了。

故所求填法种数是A33×2×1=12。