特殊探路，再验一般

特殊探路，再验一般

关传平

河南省濮阳市第一高级中学 （河南省 濮阳市 457000 ）

在解题过程中常用“特例法探路，再作一般性的证明”这一解题策略，特例法探路是从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向和途径，为探究指明了方向，以便有效的避免解题的盲目性，可谓“拨开云雾见月明”，大致思路是先特殊探究，经过大胆猜想，再验一般，下面让我们一起逐个感悟！

例1、已知函数 .（1）若函数 在区间 上有零点，求实数 的取值范围；（2）若 有实数解，求 的取值范围.

解析：（1）因为 ，当 时， ，当 时，

，且 ，所以 ，故得 ；（2）将方程中的参数 分离后，转化为求函数值域问题，则 ，构造函数 ，则 ，此时令 不易解，特殊值猜根，注意到 ，当 时， ，故 ， 单调递增；当 时， ， ，故 单调递减，所以 ，当 ，所以 的值域为 ，故实数 的取值范围为 .

反思：将方程中的参数 分离后，转化为求函数值域问题，这种方法是处理方程有解问题的最常用的方法，关于 的方程 不易解，所以可用特殊值猜根，猜得 为方程的一个根，然后证明左右导数值一正一负，从而求出 的最大值，也就求出了 的取值范围.

例2、已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，试求 的通项公式.

解析：本题若直接使用 ，则会出现式子复杂，难以求解，下面我们调整方向，先看特例，当 时，由已知得 ，解得 ，当 时，由已知得 ，将 代入并整理得 ，解得 ，同理可得 ，猜想 ，证明如下：首先当 时，由上面推导可得通项公式成立，假设当 时，通项公式成立，即 ，由于

把 代入上式，整理得 ，解得 ，即 时通项公式成立，综上可知对所有 , 都成立.

反思：本题通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明，这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公式，基本步骤是试验、归纳、猜想、证明.

例3、已知椭圆 ： ，过右焦点 且斜率不为 的直线和椭圆交于 两点， 两点关于原点对称，直线 、 交直线 于 、 两点，记 、 两点的纵坐标为 、 ，试问 是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由.

解析：常规思路是设 方程，求出点 坐标，求出 方程，求出点 坐标，从而求出 、 的方程，再求出 ，运算量大，计算繁琐.换个角度看问题，首先，利用特殊位置找出定值，再验证一般情况.当 垂直于 轴时，取 ，这时很容易求出 ，所以 ，定值出现了，这就为我们证明一般情况增强了信心.设 、 、 ，则 ，

，故 ，又因为 ， 两式相减并化简得 ，所以 ，又因为 ，所以 ，又 ，解之得 ，同理可求 ，

所以 .

反思：本题是通过特殊位置猜想出定值，为证明提供了方向，又利用设而不求探求了直线 的斜率关系，利用点在曲线上找出定值，从而看清问题本质，高效的解决了问题.

例4、已知椭圆 ： ，直线 与椭圆 交于 两点，椭圆的左右顶点分别为 ，直线 与 交于点 ，证明：当 变化时点 是否恒在一条定直线上，若是，求出该直线的方程，若不是，请说明理由.

解析：先特殊探路，取 ，得 ， ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，此时求得两直线交点 ；或取 ， ，由对称性可知此时交点 ，则可猜想点 在定直线 上，然后再证明对于任意的 ，直线 与 的交点 均在直线 上.联立方程组 ，化简可得 ，即 ，设 ， ，则 ， ，设直线 与直线 交于点 ，由斜率公式可得 ，化简得 ；设直线 与直线 交于点 ，由斜率公式得 ，化简得 ；则

，结合 两点在直线 上， ，所以 ，点 和点 重合，这说明对于任意的 ，直线 与 的交点 均在直线 上，综上可知：当 变化时点 恒在定直线上，直线方程为: .

反思：本题着重考察对解题思路的探究，如果机械的套用求轨迹的方法进行解题，将陷入复杂运算的泥潭，使问题复杂化，而且很难得出正确结论，我们采用了特殊探路、大胆猜想、严格证明的解题思路，使问题峰回路转，柳暗花明.