含参不等式恒成立问题中求参数取值范围的几种常见方法

(整期优先)网络出版时间:2020-10-16
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含参不等式恒成立问题中求参数取值范围的几种常见方法

王涛

陕西省合阳县第二高级中学 715300

【摘要】:不等式是贯穿高中数学的一根主线,高考对不等式的考察注重与函数相结合.运用函数思想、分类讨论思想、数形结合等思想对问题予以解决,此类问题往往多出现在解答题中,而在某一小问中又多于含参不等式恒成立问题中求参数取值范围形式为主,对此本文就此类恒成立问题中出现的常见方法做出了简单地归纳总结.

【关键词】:含参不等式 恒成立 构造函数法

1.二次函数法

例1.已知函数5f890c6445f23_html_fe3a84edb390b684.gif ,当5f890c6445f23_html_1fd94d0a33f0fb5.gif 时,5f890c6445f23_html_ea4dca8a307636b3.gif 恒成立,求实数5f890c6445f23_html_1ded5f0e0f8381ef.gif 的取值范围.

解:要使5f890c6445f23_html_70b3e5aca0fc324a.gif5f890c6445f23_html_1fd94d0a33f0fb5.gif 上恒成立

由一元二次函数的性质可知:

5f890c6445f23_html_e270eaf62fe37fb5.gif5f890c6445f23_html_ae189129c4b9db8e.gif

解得5f890c6445f23_html_8f54f8e2df0cd1f.gif

∴满足题意的实数5f890c6445f23_html_1ded5f0e0f8381ef.gif 的取值范围为5f890c6445f23_html_a3457af225d3bf53.gif

评注:与二次函数有关恒成立问题通常采用数形结合的方法求解,

一元二次不等式5f890c6445f23_html_2d47e74f1613e5c8.gif5f890c6445f23_html_13b573277687df4c.gif 上恒成立5f890c6445f23_html_ff96be4c5348907.gif

一元二次不等式5f890c6445f23_html_ae9be7f03d584e96.gif5f890c6445f23_html_13b573277687df4c.gif 上恒成立5f890c6445f23_html_c9766905c84384fd.gif

不等式在给定区间上恒成立则

5f890c6445f23_html_7789b0fb98d7e360.gif

5f890c6445f23_html_380d00e6b3d97c00.gif

2.分离变量构造函数法

例2.已知函数5f890c6445f23_html_fe04a9ed4ca15db1.gif .

求(1)5f890c6445f23_html_27eb000e8206910c.gif 的最小值;

(2)若对所有5f890c6445f23_html_76fb6c8e38daac12.gif5f890c6445f23_html_94563f271de2ddd2.gif 恒成立,实数5f890c6445f23_html_1ded5f0e0f8381ef.gif 的取值范围.

解:(1)由题意5f890c6445f23_html_b4bbf8739ea9312.gif

5f890c6445f23_html_94236455e02b03a3.gif5f890c6445f23_html_df8204c417b423c6.gif


列表如下:

5f890c6445f23_html_b25baaf87931ccb5.gif

5f890c6445f23_html_e4bc96102c96bdb4.gif

5f890c6445f23_html_7f1c451c6aa26718.gif

5f890c6445f23_html_a578ba6a90821967.gif

5f890c6445f23_html_def2d226b8ae3bf4.gif

-

0

+

5f890c6445f23_html_519377f6c064f1cd.gif

直线 30

极小值

直线 31









∴由上表得5f890c6445f23_html_218211b905ee82ae.gif

(2)5f890c6445f23_html_313707e4fa947ba0.gif5f890c6445f23_html_d83eb663f42da1f0.gif 上恒成立

5f890c6445f23_html_961d60e9ea1716a6.gif5f890c6445f23_html_d83eb663f42da1f0.gif 上恒成立

5f890c6445f23_html_39b66a40d4139dd0.gif

5f890c6445f23_html_2c4dfd5d41d52e1f.gif

5f890c6445f23_html_ed4c3c4ee7251a51.gif

列表如下:

5f890c6445f23_html_b25baaf87931ccb5.gif

5f890c6445f23_html_4e25342e526ee5c4.gif

5f890c6445f23_html_1ece6c4628c6bb06.gif

5f890c6445f23_html_edd255345c456a8f.gif

5f890c6445f23_html_3f8b60eda5629800.gif

-

0

+

5f890c6445f23_html_5277d12d450afc6e.gif

直线 32

极小值

直线 33









由表得5f890c6445f23_html_e86ef7f1eebba8e1.gif

∴实数5f890c6445f23_html_719319425a9d0d93.gif 的取值范围为5f890c6445f23_html_84273fead8f28ad3.gif

评注:由不等式恒成立求解参数取值范围的问题也常采用分离参数求最值的方法予以解决,即要使5f890c6445f23_html_49ff929cc4afce98.gif 恒成立,只需5f890c6445f23_html_4dd20415931c1681.gif 即可;要使

5f890c6445f23_html_73b4512843661fba.gif恒成立,只需5f890c6445f23_html_a9ddf87c9bf02f47.gif 即可,但应参数便于分离,并且构造的函数便于求最值.

3.直接构造函数法

例3.(渭南市16级高三市一模)已知函数5f890c6445f23_html_634feb5456f5e50d.gif ,设

5f890c6445f23_html_f05eaaf7aeb114ff.gif ,当5f890c6445f23_html_9a855c5663da9d3d.gif 时,5f890c6445f23_html_9ddec327779987e9.gif 恒成立,求实数5f890c6445f23_html_b9626426125843c9.gif 的取值范围.

解:由题意得对任意的5f890c6445f23_html_9a855c5663da9d3d.gif5f890c6445f23_html_64c00f992cc0fef4.gif 恒成立

5f890c6445f23_html_b2ba15e1fd985a93.gif

5f890c6445f23_html_b6cc4fe371b3cb72.gif5f890c6445f23_html_9a855c5663da9d3d.gif 上恒成立

5f890c6445f23_html_3d023891a4886fb.gif

5f890c6445f23_html_b33386c31f08d265.gif

5f890c6445f23_html_776e6be7e8441c43.gif 时,5f890c6445f23_html_763e58ebca9a2efe.gif

5f890c6445f23_html_9e77b024e42cd75a.gif 时,5f890c6445f23_html_5a0e1f18a54fc499.gif

5f890c6445f23_html_a263ba00a00c59bb.gif5f890c6445f23_html_fd331a2886425ae2.gif 单调递减,故5f890c6445f23_html_656b7dad34866c06.gif 满足题意

5f890c6445f23_html_988e915e9f61750f.gif 时,5f890c6445f23_html_de7b41433be5b7ad.gif

5f890c6445f23_html_4e5a1a0496597194.gif 时,5f890c6445f23_html_5a0e1f18a54fc499.gif5f890c6445f23_html_4d98884090c512a7.gif

5f890c6445f23_html_a263ba00a00c59bb.gif5f890c6445f23_html_fd331a2886425ae2.gif 单调递减,故5f890c6445f23_html_656b7dad34866c06.gif 也满足题意

5f890c6445f23_html_c277c28c52b82797.gif 时,若5f890c6445f23_html_e26a4c35f4825a39.gif ,即5f890c6445f23_html_79b04f7367f5ab7e.gif5f890c6445f23_html_6cbd67d2e7ba0174.gif5f890c6445f23_html_4171700692a123ff.gif 上递减,在

5f890c6445f23_html_74dc5064aeab6f76.gif 上递增,故5f890c6445f23_html_6cbd67d2e7ba0174.gif 无最大值,不满足题意

5f890c6445f23_html_56349971057fbc58.gif ,即5f890c6445f23_html_5db219e26fe81ccc.gif5f890c6445f23_html_6cbd67d2e7ba0174.gif5f890c6445f23_html_556345682a54d368.gif 上递增,5f890c6445f23_html_6cbd67d2e7ba0174.gif 无最大值,故也不满足

题意

综上所述:实数5f890c6445f23_html_9be4e1168c8a880a.gif 的取值范围为5f890c6445f23_html_2e7addc2ee7594c1.gif

评注:在解决某些含参不等式恒成立问题时,若分离参数会遇到讨论的麻烦或参数容易分离但构造的函数的最值不易求出,此时也可直接构造函数,结合条件求其最值进而确定参数的取值范围.

4.变换主元法

例4.已知函数5f890c6445f23_html_9c6ea30f83121ca0.gif ,若5f890c6445f23_html_f57fd125d62e0703.gif .

(1)当5f890c6445f23_html_b45e5c196abc9ac0.gif 时,不等式5f890c6445f23_html_f57fd125d62e0703.gif 恒成立,求5f890c6445f23_html_d6108201c34fbae6.gif 的范围;

(2)当5f890c6445f23_html_60cf605c235d77b3.gif 时,不等式5f890c6445f23_html_f57fd125d62e0703.gif 恒成立,求5f890c6445f23_html_8121423d5212269.gif 的取值范围.

解:(1)不等式变形为5f890c6445f23_html_4c9c5e934d2d7327.gif

令函数5f890c6445f23_html_6b43e216cbd7e47d.gif5f890c6445f23_html_5b4374ce34f4ccc6.gif

要使5f890c6445f23_html_c54e3071c393d05a.gif ,则由一次函数性质可知:5f890c6445f23_html_cfca0c7bbf8cd59a.gif

解得5f890c6445f23_html_2512295d3394ef9a.gif 的取值范围为:5f890c6445f23_html_59022b6ce7975090.gif

(2)∵5f890c6445f23_html_60cf605c235d77b3.gif

5f890c6445f23_html_9f139c6372996a00.gif

∴不等式可化为5f890c6445f23_html_e7da14bf84d297d9.gif

又∵5f890c6445f23_html_924fd6345218c1bf.gif

5f890c6445f23_html_75f63ec67ab3fd33.gif

5f890c6445f23_html_ce92d9d9c0744c8e.gif 的取值范围为5f890c6445f23_html_29d28a65efa36800.gif

评注:解决含参不等式恒成立问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题简化.

解决不等式恒成立问题时,通常要借助于函数思想构造出适当的函数,利用函数的性质转化为求函数的最值来求解参数的取值范围.

参考文献:

[1] 黄艳珍.有关不等式恒成立问题的探析[J].考试(教研版):2008(01).

[2] 顾冬梅.不等式恒成立问题的常用解法[J].新课程学习(基础教

育):2010(01).

[3] 朱峰.不等式恒成立问题中参数范围的求法[J].中学数学研究:2010(02).