13.4课题学习 最短路径问题

13.4课题学习 最短路径问题

黄国元

湖北省恩施州利川市谋道镇长坪民族初级中学

一、教材分析

在生产和经营中为了省时省力常希望寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题“的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段和最短问题，再利用轴对称将线段和最小转化为两点之间，线段最短问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。

二、教学目标

1.教学知识点

能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.

2.能力训练要求

在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

3.情感与价值观要求

通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.

三、教学重难点

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．

探索发现“最短路径”，确定最短路径的作图及说理．

突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.

四、教法、学法分析

教法：以老师为主导、学生为主体的引导式方式由浅入深的去教学。

学法：采用学生自主探索、合作交流的学习方式去学习。

五、教学过程

一、复习引入:

最短路径问题：

1.两点的所有连线中， 最短。简单说成 。

2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。简单说成 。

本节课，利用以上知识及轴对称、平移等变化解决实际问题中的最短路径问题。

二．学习探究

（一）问题一：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

2. 问题二：运用轴对称解决距离最短问题

求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？这 个问题被称为“将军饮马问题”．

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？

追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

问题3　你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗？

( 反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．)

跟踪训练：1、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置。

2． 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

（三）问题三：利用平移确定最短路径选址

如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

( 反思小结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．)

三、总结梳理，内化目标

1．本节课研究问题的基本过程是什么？

2．轴对称在所研究问题中起什么作用？

四．当堂检测：

1 .如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　）

　 A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）

2.如图点P为一处马厩，AB为草原边缘，CD为一条河流，牧马人要从马厩牵马去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩，设计一条最近的行走路线

3 我班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D处座位上，，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

五、作业

课本复习题13第15题.

6. 课后反思：

授课的过程中应该环环相扣，把要讲的问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度，就像是上台阶，一个个的台阶上。注重建模思想。虽然不必要提出来这个名词，但是要让学生能从实际问题中抽象出数学问题，本节课的“最短路径问题”就是一个实际的问题，要让学生转换成数学问题，抽象出数学问题。21cnjy.com

（湖北省恩施州利川市谋道镇长坪民族初级中学 黄国元）