点，直线，圆和圆的位置关系教学案例

点，直线，圆和圆的位置关系教学案例

程军 韩晖霞

湖北省荆门市李市中学 448278

1. 案例背景

人教版初中数学九年级下册“点，直线，圆和圆的位置关系”章节主要探索不同几何图形与圆的位置关系，内容较为丰富，学习难度稍高，且包含多个对应公式，学生容易将其弄混。素质教育背景下，初中数学教学不应当继续沿用灌输式、填鸭式方法与模式，而是应以培养学生数学学科核心素养为主，关注学生情感体验与能力，为其提供足够的探究、表达与讨论机会，引导学生学习和掌握科学的研究方法。

2. 案例主题

帮助学生夯实基础，熟练掌握各类几何图形与圆的位置关系及相关公式、定理，能够熟练使用定理解决题目，并全方位培养数学学科思维与能力。

3. 教学目标

1. 知识与技能目标

1. 理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系及其判定方法。

2. 通过课堂学习，掌握关于切线的几条定理，能够运用定理处理问题。

3. 深入分析探究两圆相离、相切时的不同情况，及两圆相交时可能设置的题目，了解圆心距等基本概念，能够用圆心距与其它量灵活表示圆心距，并运用该部分知识解决题目。

2. 过程与方法目标

1. 通过切实操作，帮助学生感受点与圆、直线与圆、圆与圆的不同位置关系，并通过自主探究与观察，总结出规律，获得对主要知识的初步认知。

2. 在探索过程中锻炼学会分类讨论方法，并能够有条不紊地按照一定顺序分别探究不同情况。

3. 情感态度与价值观念目标

1. 学生完整经历从观察到比较、假设、分类讨论、实践验证等步骤，从而熟练掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的几种位置关系，提高发现、探究和解决问题的能力。

2. 引导与鼓励学生通过测量、平移、旋转、折叠等方法探究和验证几何关系，使学生能够在实践活动中充分积累经验，并获得成功的体验与内心的满足，学会依靠直观事实进行说理，将合情推理与演绎推理相结合，培养数学思维与品质，更好地认识世界。

4. 教学过程

1. 创设情境，课前导入

教师展示一组题为“星星与太阳”的不同图片，其中星星用光点表示，太阳则为红色发光圆球。

师：同学们，这组图片展示了太阳与星星共同组成的美景，大家可以看到，在体积十分庞大的太阳面前，星星就如同一个个发光的小点，太阳则是一个巨大的圆。图中有许多颗星星，它们与太阳这个“圆”的位置关系有些不同，请大家通过观察，总结光点与圆的位置关系。

生：有三种位置，光点在圆外，在圆上和在圆里。

师：没错，大家观察很仔细，将点在圆上的情况也总结在内。请看下面的动画，观察地平线与圆的位置关系。

教师展示“日出”短视频，其中海平线与圆的位置关系发生渐变。

师：同学们，我们假设地平线为一条定直线，太阳是一个移动的圆，大家可以看到，在“日出”过程中，太阳与地平线的位置发生了变化，请指出二者的位置关系有几种?

生：点和圆的位置关系分为三种，那么直线也有三种。在太阳升起的过程中，地平线和太阳先是没有交点，在刚接触时有一个交点，在太阳通过地平线的过程中，一直有两个交点，离开地平线时有一个交点，最后没有交点。所以位置关系有三种：直线和圆有0个、1个、2个公共点。

师：同学们分析得十分准确。那么，我们是否能够用类比法来判断两个圆之间的位置关系呢？另外，老师还有一个问题：直线与圆的交点能否有三个呢？下面请大家以小组为单位，自己制作两个圆来进行探究，并且尝试着过一条直线上的三点画出一个圆。

2. 实践演练，自主探究

教师给出十分钟时间，供学生提出设想并制作不同的圆形，完成对猜想的验证，并在画圆过程中探究是否能够实现“通过一条直线上的三个点画圆”。

生1：我们试过很多次，最多只能通过直线上的两个点画圆，不可能经过三个点。也就是说，直线与圆的交点最多只有两个。

师：没错，这就是我们课本上所介绍的反证法。当从正面思考一个问题无法得到结果时，不妨尝试采用反证法，从相反的角度来探讨，如果能够证明它的反面不能成立，那么原来的命题就能成立。

生2：两个圆之间的位置关系也有三种，分别是没有公共点、有一个公共点和有两个公共点。

生3：我觉得要更多，因为当两个圆不一样大时，小圆可以套在大圆里面，所以一共有五种情况：两个圆都在对方的外部，且没有交点；两个圆在对方外部，有一个交点；两圆有两个公共点；小圆在大圆内部，有一个公共点；小圆在大圆内部且没有公共点。如果是两个大小相等的圆，其中一个在另一个内部时就会重合。

师：非常好，这位同学的观察可以说是相当全面和仔细，还考虑到了两个圆大小不相等的情况。我们数学学科要的就是全面与严谨，在分类讨论时，也必须能够考虑到各种情况，不能由遗漏。现在我们知道，点或者和圆的位置关系有三种，两个大小不同的圆的位置关系则有五种，下面我们来挨个介绍它们的学名。

教师带领学生回顾点、直线与圆的所有位置关系，并用数学语言将其精准描述、给出学名。之后，分别提出不同命题，交给班上各个小组进行讨论，命题包括：点与圆的位置关系与点到圆心距离存在何种关联；直线到圆心的距离和直线与圆的位置关系存在何种关联；两圆的圆心距大小与二者位置关系有何关联。之后，各小组汇总讨论结果，分享在研究过程中遭遇的问题与所用解决方法，并在班级中进一步探讨，得出最终结论。

5. 教学总结

通过本次课堂学习，学生们感受到了发现、探究问题并得出结果的喜悦，提高了对数学学科的兴趣，并能够将错综复杂的几种位置关系牢牢记住，夯实基础。

六、教学反思
数学知识本身理性思维较强，缺少感性因素，对学生而言吸引力较弱，且该部分内容丰富，学生可能无法在短时间内接受和掌握，因此，应当引导学生自主探究，加深印象，理清思路，从而提高教学效果。