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三角高程测量精度再分析

姜会民

悉地（苏州）勘察设计顾问有限公司，江苏，苏州 ,215024

摘要：三角测量代替四等水准测量，已经成为不争的事实。按照传统方法，分别在两端点安置仪器与棱镜，在满足一定条件下，也可以替代三等水准测量。

我们现在换个角度来测量，不必量取仪器高与棱镜高，在两点之中点安置仪器，则大大提高了观测精度。本文先复述了传统三角高程测量的误差来源并进行精度分析，然后对中点安置仪器进行推论，并用实际算例验证了结论的正确性。

1、公式推导

A为已知高程点，B为待测高程点。将全站仪安置在A点，仪器高为i，棱镜置于B点，棱镜高为v，则A、B两点高差为 ①

式中S为斜距，α为竖直角，c为地球曲率改正数，r为大气折光改正。

其中，

式中，R=6371km, k为大气折光系数。

则单向观测表达式为：

……………………………… ②

对向观测时，则有

直觇： ……………………③

反觇： ……………………④

以上两式中，与分别为往返测时大气折光系数。全站仪相同气象条件下，特别是在同一时间进行对象观测时，可以认为与近似相等。同为AB间的距离，也可以认为近似相等。与同时表示AB两点间的平距，也可以认为近似相等，故与也近似相等。

将③，④两式相减，除以2，得全站仪对向观测三角高差计算公式

= ……………………⑤

⑤式表明，对向观测可以抵消地球曲率及大气折光的影响，因此，在气象条件稳定时，全站仪三角高程对向观测可以不考虑地球曲率及大气折光之影响。

2、误差分析

2.1测距误差

全站仪测距误差对高差的影响与竖直角的大小有关，日常全站仪的测距精度一般在±(1+1ppm∙D)∼±(5+5ppm∙D)之间，测距精度很高，对高差影响小。

2.2测角误差

竖直角观测中误差mₐ 对高差影响随边长的增加而增大，二是与竖直角的测角精度有关。

2.3球气差

由前分析知，对向观测可抵消地地球曲率及大气折光的影响，因此在气象条件稳定时，全站仪三角高程对向观测可以不考虑此项。

2.4仪器高与镜高的量取误差

作业时量取仪器高和棱镜高各独立两次至1mm，当较差小于2mm，取其平均值为最终结果，一般根据测量经验，取 = =2mm，作为仪器高的量取误差

3、精度分析

3.1全站仪单向观测高差中误差

根据误差传播定律，由④式得

………………………………………………⑥

上式中最后两项数值均很小，故可以略去不计。则有

3.2对向观测中误差

由⑤式得

……………………………………⑦

式中取 = = , = = , = =

= = , = = α , ρ=206265

于是，上式简化为

= ……………………………………⑧

则

………………………………⑨

4、不测量仪器高与棱镜高，中点位置设点观测高差

换一种思路，我们现在不在A或B点高站来测量AB间高差，而是在两点之中点设站来测量AB间的高差。具体观测顺序如下：

在AB两点之中点O安置仪器，照准A点，设置仪器高，使得在坐标测量模式下，高程读数为零；然后松动止动螺旋，照准B点，读取高程。则B点读数即为AB点间高差值。

之所以将观测过程详细描述，是要特别强调说明的是，这里没有测量仪器高和棱镜高。只需前后视棱镜高度保持固定不变（这一点很容易做到）。而无需量测其具体高度值，同样，仪器高也不必测量。

下面具体阐述一下不测量仪器高与棱镜高来求解两点间高差的原理：

假定后视点A高程为零，在坐标模式下，不测量仪器高与棱镜高，只需在仪器键盘上，给仪器设置一个数值（这很容易做到），使得测量高程显示为零。则再测量其它点所得到的高程，即为假定A点高程为零的前提条件下，测量点的高程值，也即为该测量点与后视A点之间高差值。

很显然， =

参照②式则有

………………⑩

……………⑪

⑩-⑪式，得

= ……………………⑫

即在中点设置仪器，一站可将地球曲率及大气折光影响消除。

⑧式及⑫式易推出是中点设站时，则有下式成立

= ………………………………………………⑬

注意，⑬式中的S与⑧式中的S是一致的，均代表AB两点间的距离。

⑬式与⑧式比较，测角因素引起的误差项减少一半，测距误差项不变，仪器高与棱镜高误差项为零。

5 中点位置设站观测的误差分析

取限差为2倍中误差，以mₐ=±2″， =±(3+3ppm∙S)的全站仪为例，依据⑬式计算得下表

表1 对向观测误差计算表

竖直角	误差类别	AB点间距离
竖直角	误差类别	100	200	300	500	600	700	900	1200	1500
3°	①	0.47	1.88	4.22	11.72	16.88	22.97	37.97	67.51	105.48
	②	0.01	0.02	0.02	0.03	0.03	0.04	0.04	0.05	0.08
	③	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25
	2	3.31	4.07	5.10	7.48	8.75	10.05	12.69	16.71	20.77
8°	①	0.46	1.84	4.15	11.52	16.59	22.59	37.34	66.38	103.72
	②	0.10	0.12	0.15	0.19	0.22	0.25	0.31	0.42	0.54
	③	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25
	2	3.35	4.11	5.12	7.47	8.73	10.01	12.63	16.62	20.64
15°	①	0.43	1.75	3.94	10.96	15.79	21.49	35.52	63.16	98.68
	②	0.36	0.43	0.51	0.68	0.77	0.87	1.09	1.46	1.88
	③	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25
	2	3.49	4.21	5.18	7.45	8.67	9.92	12.47	16.35	20.28
30°	①	0.35	1.41	3.17	8.81	12.69	17.28	28.56	50.77	79.33
	②	1.36	1.62	1.90	2.53	2.88	3.25	4.06	5.44	7.03
	③	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25
	2	3.98	4.59	5.41	7.37	8.44	9.54	11.81	15.29	18.83
50°	①	0.19	0.78	1.75	4.85	6.99	9.52	15.73	27.97	43.70
	②	3.19	3.80	4.46	5.94	6.76	7.63	9.53	12.78	16.50
	③	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25	2.25
	2	4.75	5.23	5.82	7.22	8.00	8.81	10.49	13.11	15.81
三等	12	3.79	5.37	6.57	8.48	9.29	10.04	11.38	13.14	14.70
四等	20	6.32	8.94	10.95	14.14	15.49	16.73	18.97	21.91	24.49

表1中①②③分别代表着竖直角观测误差、测距误差、仪器高和棱镜高量取误差对高差的影响，即式⑧中的第一、二、三项。

表2 中点设站时误差计算表

竖直角	误差类别	AB点间距离
竖直角	误差类别	100	200	300	500	600	700	900	1200	1500
3°	①	0.23	0.94	2.11	3.75	8.44	11.48	18.98	33.75	52.74
	②	0.01	0.02	0.02	0.03	0.03	0.04	0.04	0.05	0.08
	2	1.00	1.95	2.92	4.85	5.82	6.79	8.72	11.63	14.53
8°	①	0.23	0.92	2.07	5.76	8.30	11.29	18.67	33.19	51.86
	②	0.10	0.12	0.15	0.19	0.22	0.25	0.31	0.42	0.54
	2	1.16	2.04	2.98	4.88	5.83	6.80	8.71	11.59	14.48
15°	①	0.22	0.88	1.97	5.48	7.89	10.74	17.76	31.58	49.34
	②	0.36	0.43	0.51	0.68	0.77	0.87	1.09	1.46	1.88
	2	1.53	2.29	3.15	4.96	5.89	6.82	8.68	11.49	14.31
30°	①	0.17	0.70	1.59	4.41	6.35	8.64	14.28	25.38	39.66
	②	1.36	1.62	1.90	2.53	2.88	3.25	4.06	5.44	7.03
	2	2.48	3.05	3.73	5.27	6.07	6.90	8.56	11.10	13.67
50°	①	0.10	0.39	0.87	2.43	3.50	4.76	7.87	13.98	21.85
	②	3.19	3.80	4.46	5.94	6.76	7.63	9.53	12.78	16.50
	2	3.63	4.09	4.62	5.78	6.40	7.04	8.34	10.35	12.39
三等	12	3.79	5.37	6.57	8.48	9.29	10.04	11.38	13.14	14.70
四等	20	6.32	8.94	10.95	14.14	15.49	16.73	18.97	21.91	24.49

表2中①②分别代表竖直角观测误差和测距误差。即式⑬中的两项。

两表对比会发现，如果端点设站，对向观测，竖直角精度mₐ≤2″，测距精度不低于±(3+3ppm∙S)，边长1500m之内，可以满足四等水准限差要求；如果边长在600米之内，可以满足三等水准的限差要求。而如果采用中点安置仪器观测，则在1500米之内均可满足三等水准测量之限差要求。

1）竖直角观测误差的影响较其余误差要大得多，是全站仪三角高程测量的主要误差来源。故在实际观测中，应采取措施提高竖直角观测精度。

2）中点设置仪器，则仪器高与棱镜高的量取误差均可以不用考虑，大大地提高了精度。

3）边长越长，测量高差精度越低，故直接测定高差应以短边传递高差为宜。

6结束语

通过以上分析可知，用全站仪进行三角高程测量，采用两点之中点设置仪器，相较于在两端点对向观测，精度有较大幅度提高。完全可以替代三、四等水准测量。

参考文献

武汉测绘科技大学《测量学》编写组。测量学［M］，第三版，北京：测绘出版社，1996。
郭宗河，用全站仪测量与测设高程的几个问题［J］，测绘通报，2001（12）。
赵长胜，石金峰。测量平差［M］，北京：教育科学出版社，2000。

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