充分大奇数的 奇合数因数分解及奇素数素性判别

充分大奇数的 奇合数因数分解及奇素数素性判别

王述勋

新疆生产建设兵团

摘 要：本文由一元二次方程式的求根公式判别式，推导出一个数学方程式。作为充分大奇数的奇合数与奇素数的判别式。

关键词：奇合数、奇素数、判别式

在自然正整数Z—集合里，对任意大的奇数：m，如何判断它是“奇合数”或“奇素数”，至今未有定型的数学表达式来判定。

（A）

奇合数的因数分解

一、基本概念：

1、充分大奇合数概念：

在自然正整数Z—集合里，充分大奇数设定为：m。即 。

2、充分大奇合数概念：

设定：两个充分大的不同等的奇数为p和q。

若：

则：m为奇合数，p与q是m的两个因数。

3、充分大奇合数的表达式：

将m变形为

为最大整数部分

n为 的余数部分

令：

得：

由：

令： ，则

，则

得：

即：

是m的数学表达式。

二、求解数学方程式：

1、

将： 演算化简：

设：

在 中：令 ，g为 的差，即

将： ，代入 中

得：

用：求根公式

得：

在上式中：a与x及y互为奇偶数， x－与y同为奇偶数。

可将分母2约去。

得：

要使y有正整数的解值

数式： ，必须是完全平方数式方程。

令：

就是推导出的任意奇合数m的因数分解方程式。

诠释：

是本文研讨的主题方程式。

在此式中：a，n是工作目标任意选定的m。

视为常量（已知量）。

a的数值大小确定工作目标的长度。

g及K为未知量（自变量），由a的数值确定它的取值域。是可数的数域。

用阶数表示m的数位。

其中：a =1，2，3……9

n＝1，2，3……（可以无限）

当n＝6或5时： 用于演算较为容易。

当n＝7，8，9……16时： 用于演算较为困难。

当n＝17，18，19……任意大时： 时，非手工能演算，得用科技设备来完成。

本文范例，选择15＞n的工作长度。

即 15位数以内的奇数数值。

2、根据完全平方数的数值特征：

被 16整除的余数设为

有4个数值特征。

以16为模，将 构建为同余式方程：

g 被16整除的余数为 ，即

有16个余数

被16整除的余数为 ，即

有16个余数

被16整除的余数为 ，即

有17个余数

将 ， ， ，进行三、三组合

取得： 数值。

在 数值中，被16整除，余数为0，1，4，9的 有989个，其余 舍去。

这989个 与对应的 ， ， 构建成数学方程式：

令名为：“初始数值方程式”：

在 中：

是 的运算数值。

为 的“初始数值方程式”。

： 的数值演算表太冗长，在本文中略去。

3、奇合数因数分解实例

取充分大奇合数 631697288726223

①m变形为：

631697288726223

②求出：

③ ， 与 初始数值演算表中的 、 、 、 行列对应的数值表中，行列对应的数值有1—4列存在。可拓展为1—4个“工作目标m的求解方程式”

工作目标初始值数学方程式数值演算表

①+②×③＝④－⑤＝⑥

4、拓展：

将 ：

拓展为 ：

将： 、 、 代入

将 631697288726223

代入 中：

得

上式就是“工作目标m的求解方程式”

在此方程式中， 的数值为12。有未知量 j与K：

K为此方程式的演算数值是因变量。

j为此方程的自变量，可为大于1的任意自然数1，2，3……，是有限的可数的自变量。

j的取值域是：

（ 可以忽略不计）

得 ，是工作目标的长度j，它的取值次数是小于 。如果用逐一取值求解，最大工作长度是 次，即 1570849次

用手工演算，是相当困难的。如果工作目标m的数位在8位以内是比较容易的。

为缩短的j的取值次数，用16的方幂法确定j的取值区间，即g数值区间。

5、用16的方幂法确定 的取值区间

6. g的取值数域表

16⁰—16⁶数值列表

（可扩值为：16^n-1—16ⁿ）根据工作的数位，选择工作目标的数域。

7、工作目标： 631697288726223

测值求解演算表

注：经 测值求解演算表的推演：

求得解值：

将 代入 中：

得： 方程得解。

8、解值效验：

由设置：

代入

现经“ 解值测试演算表”

求得解值 代入 得：

解值效验正确，工作目标完成，因数分解成功。

奇合数因数分解，以分解成两个奇数乘积为目的。

9、工作目标 范例：奇合数设为m

67543109679101 8218461²+8470580

经 测试求解值演算表（A表）和（B表）

获得共同解值：

解值效验：

工作目标、范例： ①＋②＝③ ③＋④＝⑤ ⑤＋⑥＝⑦

测试求解值演算表（A表）

序号			①	②	③	④	⑤	⑥	⑦
测试数式			5×165	4×164	8×163	3×162	2×161
测试数值			5242880	262144	32768	768	32	2
①	①		27487790694400	30305289240576	30667140235264	30675646873600	30676001342464	30676023496836	30676023496836
②	＋②		5242880	5505024	5537792	5538560	5538592	5538594	5538594
③	×③		16436922	16436922	16436922	16436922	16436922	16436922	16436922
④	－④	－n	－8470580	－8470580	－8470580	－8470580	－8470580	－8470580	－8470580
⑤	＝⑤	非K2数值	113664591839180	120790930866124	121691386920908	121712517115360	121713397565728	121713452593924
⑥	⑥	K2数值							121713452593924
测试演算求得解值： ； 。
（ ）

工作目标、范例 ①－②＝③ ③－④＝⑤ ⑤－⑥＝⑦

测试求解值演算表（B表）

注：①测试演算求得解值：

② 测试求解值演算表（A表）和（B表）：

（A表）是从较小取值，逐步增值演算求解。（B表）是较大取值，逐步减值演算求解。

还可以先增后减，或先减后增演算求解。

（B）

奇素数的判别式及求证方法

在Z—正整数集合中，充分大的奇数： 或为奇合数，或为奇素数，二者必居其一，非此即彼。

本文在研讨（A）时，奇合数的判别式是：

此式只有一个唯一的正整数解 是完全平方数式方程式。

此式的其它解值是非完全平方数解值（含多个分数式或无理数式解值），这就是奇素数。

即是： 有解，则 为奇合数

无解，则 为奇素数。

如何判别充分大的奇数 为素数：

将把要工作的m，按照（A）的变形方法

构建形如 ：

按照（A）奇合数因数分解实例：

将 、 与 初始数值演算表中的 、 、 、 行列对应的数值演算表中

将 拓展为：

因数分解方程式

上式就是“工作目标 的求解方程式”

在此方程式，a 与 n 是已知量，j 与 K 是未知量。j 为方程式的自变量。它的定义域为： 。

K为方程的演算数值。按（A）的求解方法，就是奇素数的求证方法。它只有非完全平方数解值，这就是它的判别式。

诠释：充分大的奇合数与奇素数的判别式，为同一个数学方程式：

它的解值为：完全平方数（正整数）是“奇合数”。

它的解值为：非完全平方数（分数或无理数）是“奇素数”。

这是本文研讨的主题。

作者：新疆生产建设兵团 王述勋 2021.6.18

参考文献：

① 王述勋. 充分大奇合数因数分解方程式推介.“试题与研究”. 教学论坛. 2020(26):0113-0115.

② 王述勋. 完全平方数及完全平方数式方程式浅析. “教学与研究”. 教育研究 201-204.

（C）

附录：（A—3式） 的应用

在数域较小的正整数Z—10⁶集合里，将集合里的奇数，设为：m（6位数或小于6位数），进行“奇合数因数分解”及“奇素数素性判别”的手工操作方法——是本文（A—3式） 的应用

操作流程实例

实例（一）：设6位数的奇数 732843

（1）将m变形为：

即：

代入（A—3式） 式中

得：

列表演算： 的数值。

（2） 数值演算表

①+②×③－④＝⑤＝⑥

（3）释表：

①g可以逐一取值：1，2，3……

g的取值域为：

②g在逐一取值演算中，取得 数值，对应的 就是奇合数m的解值。

此实例

③将取得的解值效验：（A）的设定：

此实例中

（4）诠释：按此操作，证得奇数 为“奇合数”。

实例（二）：设5位数的奇数 30031

（1）按实例（一）的工作操作方法

得：

列表演算： 的数值。

（2） 数值演算表

①+②×③－④＝⑤＝⑥

（3）释表：

①g的取值到最大数值：

无取得 数值。g取大值，未有 数值。

与g值对应，“终止演算”

即 无解。

② 方程式无解，

即可判别 30031 为“奇素数”。

（4）诠释：较小数位（6位或5位）的奇数，是可以用 的求值演算，来判别其是“奇合数”或“奇素数”的判别方法。

结束语：此手工演算方法，进行“奇合数因数分解”及“奇素数素性判别”，适用于广大的数论“爱好者”。

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