初中几何最值问题解法探究

初中几何最值问题解法探究

王忠新

广东省深圳市龙华中学 518109

摘要：几何最值问题近年来颇受各地中考命题者所青睐，其向着多形式的题型发展，并有拓宽和加深的趋势。这类问题涉及的知识面广，综合性强，要求解题者具有较强的数学转化能力和创新意识。

关键词：初中；几何最值问题；解法探究

引言

数学教育目前要求培养学生的核心素养。在几何最值问题教学中，如何兼顾学生的答题能力和核心素养值得思考。初中几何最值问题方法的探索要面向学生，面向学生的思维，有助于核心素养凸显重要能力的实现。

一、初中几何最值问题重要性

在中学几何知识体系中，最值问题是一个重要的知识领域，它不仅涉及几何知识，而且涉及数学思维。它不仅在课堂上清晰地体现出来，也是中考的重要组成部分。因此，无论是学生还是老师，往往都关注几何学的最值问题。在学生看来，学生往往不知道“最值”在哪里，所以做题时出现与其他类型问题的不同解法。所以客观上也引起了学生解题时的心理紧张和混乱。在解决这个问题的过程中，试图从几种方法的总结角度找到一种解决方法，从应试效果的角度起到一定的作用。但是学生自身觉得其在学习数学技术方法，而不是完全理解几何最值的问题。

目前学生的数学核心素养，即符合学生终身发展和社会发展的必备品质、能力和精神，主要包括：严肃、认真、执着、务实的品质，数理抽象、逻辑推理、数学模型、直观想像、数学计算与统计分析的基本才能，以及科学探索、大胆创新的精神。初中数学的核心素养是学生经过数学学习，形成对自己的基本认识、了解和处理身边事情的品质，是当人和环境之间产生互动时，所体现出来的思维方法和解决问题的策略。其所面临的现象既可能是数学问题，也可以是非现实问题，而具有相当数理素质者既可以用数理的角度观察问题，又可以用数理的思维方式思考实际问题、以数理的思考方式解决问题。对学生数学基础素养的培训是一个循序渐进、开拓与创新的过程，课堂也是培养学生的主阵地。

总的来说，中学几何最值问题具有灵活性、创新性和挑战性，因为其可以综合考查二次函数、轴对称、一次函数、特殊三角形、相似三角形、特殊四边形、圆等重要知识。因此，受到全国各地中考命题者的欢迎。但命题者在享受出题成功的同时，很少关注学生为了达到解题和素养的效果，会经历怎样的思维过程，显然需要站在培养核心素养的大背景下，进一步阐述中学几何最值问题。

如上所述，几何最值问题的调查知识点涵盖了以上几点。其主要是从知识分类的角度对求解方法进行分类的。最有价值的问题可能根据知识点的不同而答案不同，但最有价值的问题可能根据知识点的不同而答案相似，所以从方法的角度对最有价值的问题进行分类更为可行。但是这里又存在一个挑战，那就是对于初中学生而言，数学方法、解题方法的形成与归类原本就不容易，其归类结果有可能班上只有三分之一左右的学生能够明白，这就给面向整体数学教学带来了难度。在这样的背景之下，在教学中当遇到几何最值问题时，在很长的一段时间里，都不给学生进行知识或者方法上的分类，而只是强调一道题目的提供与解法的形成。这从解题的角度来看，其实是比较合适的，原因就在于几何最值问题对于学生而言，是一个经验非常缺乏的知识点，而经验缺乏就意味着需要积累，遇到一题就分析一题，解决一题就记住一题，这就是一个经验积累的过程，所积累的经验不仅包括知识点上的认识，也包括解题方法上的积累。等到积累到一定的程度，那学生就会对几何最值问题产生一定的直觉，这种直觉是进一步提升的基础。结合该问题在中考试题中的出现，从研究中可以看出，几何最值问题近年来受到中考人员的青睐，并向多种题型发展，有不断扩大和深化的趋势。这类问题知识面广，综合性强，要求解题者有较强的转化能力和创新意识。这种转化能力和创新意识的培养是上述经验积累到一定程度后的必然之举。

二、初中几何最值问题解法

基于以上分析，基于培养核心素养的需要，初中几何最值问题解法的研究主要分为两个阶段进行。

第一步，是向学生提供基本的最值问题。学生在解答问题后，可以通过一定的方法进行认知。在这些基本问题中，“将军饮马”类型的问题都很简单，学生一旦成功解决，就能体会到轴对称知识的重要作用，这一点来自世界各地。大量事实表明，通过这一步骤的努力，学生可以形成解决几何最值问题的丰富经验。即使是平均分较低的学生，也可以在成功解题的过程中获得对方法的认知，这种认知有助于后面的分类和方法的提取。

第二步，让学生做总结。总结的目的是分类，总结分类中的方法。基于循序渐进的原则，学生在最大程度的问题上接受训练。从“静态”到“动态”中学几何最值问题，无论问题如何变化，极值问题最终由的最短垂直线分、两点之间的最短短线分、动点与定点的最大(小)距离、动点与定线的最大(小)距离、一次函数、一定范围内的二次函数发现存在两种常见的几何最值问题。是两点间的最短线段和直线外的一点与直线上的各点间的最短垂直线线段。这就是我们解决几何最值问题的出发点和归宿。最后总结的方法是直接解法(对于最大值问题，例如一般的变换法和数形结合法)(通常涉及二次函数)。特别是这些方法都要经过以上两个阶段，让学生在体验过程中不断总结和反思。只有方法属于学生，学生遇到新问题才调用自己总结的方法积极解决问题。如果不尊重学生在方法总结中的自主性，无论怎么努力，都不能保证学生在遇到新问题时有自信。

三、面向学生思维实施教学

简言之，强调学生在几何最值求解过程中对方法的自我总结，其实就是强调学生在解决这类问题时思维的培养。如开头所述，几何最值与其他类型的练习不同。除了一些最基本的极值能直观地形成反应外，大多数题目都需要学生对解题方向有一定的思考。就教师来说，经常在学生着急做题的时候帮忙，但这种帮助不利于培养学生的思维。所以在实际教学中，学生倾向于自主探究，自己总结最有价值问题的解决方法，学生在总结的过程中可能会有一个肤浅的过程。学生总结时，往往只想到“两点之间的最短线段”、“直线到垂直线的最短距离”、“平面内的一个”。这些结论实际上是针对具体题目总结出来的，不具有一定的概括性，但是教师这个时候必须冷静，不能急于求成而去拔苗助长，最好的做法应当是给他们更多的题目——这些题目教师必须精选，主要的目的是丰富他们原有的认识。

可以肯定地讲，当学生对一道题目进行了总结之后，这道题目在学生大脑中的印象一般是深刻的，此时教师基于变式教学的思路，给学生提供一些变式题目，就可以丰富学生的认识，从而让他们总结出求线段或线段和、差的最值问题，及其相关的思路。事实上，在这个过程中，学生往往会有新的发现。例如，虽然也有看起来与函数无关的问题，但是如果制作二次函数的话，可以使用求出最值。这是汇总发现的好方法。学生掌握几何最值问题的解法，培养自己的思维。

结语：中学几何最值问题方法的探索，必须面向学生，面向学生的思维。学生不应该追求记忆方法的名称，而应该让学生在遇到不同类型的几何最值问题时有所领悟。这是目前解决该内容最好的教育方式，有助于数学核心素养凸显关键能力的落地。

引用文献：

[1]陈智敏.初中几何最值问题解法探究[J].科教文汇,2014(15):144-145.

[2]成政荣.初中几何最值问题解法探究[J].数学教学通讯,2020(11):42-43.

[3]王明.例谈初中几何教学"最值"的解法[J].华夏教师,2018(34):19-20.