浅谈解析几何中的点差法

浅谈解析几何中的点差法

王瑛

武汉市第二十六中学   430030  

摘要：解析几何在高考中占有重要地位，点差法作为解析几何的基本方法，在高考数学圆锥曲线题中屡次涉及。在高考中,绝大多数学生只能完成圆锥曲线题目的第1问，第2问因计算量大而难无法完成。点差法在解决解析几何特定问题时，能够减少很多的运算，能够较快的解答圆锥曲线题。本文通过具体实例谈谈解析几何中点差法的应用。

关键词：点差法圆锥曲线

一、什么是点差法

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法".

二次曲线上两点，设的中点，的斜率为。

由(1)－（2）得，

又∵

∴　这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式。

即已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率,可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”。

二、点差法的基本应用

点差法的应用与弦中点相关，而与弦中点相关的问题主要涉及到：以定点为中点的弦所在直线问题；过定点的弦的中点轨迹问题，以及由此所衍生出来的定值、范围和存在性问题。

1.以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过点作抛物线的弦，恰被点平分，求所在直线的方程.

解：法一、设所在直线的方程为，

由，消去并整理，得.

设，，由根与系数的关系，得，

又是的中点，所以.  所以，

所以直线的方程为，即.

法二、设，，则有，，

两式相减，得，

又，则，

所以直线AB的方程为，即.

通过例1能够看出：法一为传统解法，在联立求解进程中，可能出现计算失误致使最终结果的误差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。例1比较简单，传统方式亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。

2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

涉及弦的中点坐标，可以用点差法，设而不求，联系弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系，巧妙作答。

例2、已知椭圆C:,直线过点P(1，1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.

分析：此题涉及到弦AB的中点坐标,且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“点差法"。

解：设，则

∵点P在椭圆内部,直线与椭圆恒有两个交点,

∴点M的轨迹方程为：

3.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

一般地，求对称直线、对称点的题目，用点差法较为方便。在高中数学中，求取值范围也是热门考点。对称点和求范围一起出现，初看题目让人无法下手，但只要抓住点差法的解题思路，求得斜率，得出直线方程之后再结合其他知识点，便可以顺利解决。

例3、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.

解:设，为椭圆上关于直线的对称两点,为弦的中点，则，两式相减得，

即

，，

　　这就是弦中点轨迹方程。

它与直线的交点必须在椭圆内

联立,得　则必须满足，

即，解得

4.证明以及求解定值问题

点差法中的定值结论：已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点,为椭圆的中心，直线和直线的斜率之积是定值。

证明：设且，则，(1）,（2）

得：，

，。

又，，（定值）.

例4、已知直线与椭圆交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于 。

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．则，，

，，∴两式作差并化简得

∴

∴，∴，∴k1k2=﹣．故答案为：

本题中利用点差法，设而不求，再应用线段中点坐标公式、斜率计算公式，便可以得到斜率乘积的定值。如果记住了上面的结论，在做选择题填空题时可以直接求解即可。

三、应用点差法需要注意的问题

应用点差法解决椭圆的中点弦问题和应用点差法解决双曲线有关的中点弦问题有所不同。过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验。

例5、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法。

解：设存在被点平分的弦，且、

则，

，

两式相减，得

故直线

由　消去，得

这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到应用点差法解决中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。

总的来讲，点差法作为一种基础数学方法，它与其他数学方法之间有着极大的相关性。点差法虽然好用，但也只是一种特殊方式，只能解决一些特殊问题。因此，要想熟练掌握各类解析几何题目，在学习点差法的解题技巧过程中还需要熟练掌握运用其它方法，要从练好大体题型、掌握大体方式入手，便能更好的解决各类解析几何问题。高中数学学习才能达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]汤伊静.浅谈点差法在高中数学中的应用：数理化解题研究 2019年第04期总第425期