抽象函数中的单调性问题

抽象函数中的单调性问题

席小娇

溧阳市埭头中学      江苏   溧阳     213300

摘要：单调性函数是函数中的一个重要特性，它被广泛应用于数学和经济学中。介绍了函数单调性评判的几种方法和几个结论，先针对具体函数从函数单调性定义入手，先后给出定义法，导数法，函数性质法，图像法和复合函数单调性评判法；其次，对不给具体函数表达的抽象函数给出定义法与复合函数法。

关键词：函数；单调性；特定功能；抽象函数

函数作为研究现实世界数量关系的数学模型，其最基本和最主要的特性就是函数的单调性。函数单调性对高中数学学习具有重要作用，包含数形结合，分类讨论等数学思想。同时函数的单调性也为学生以后学习高等数学提供了依据。[1]所以如何判断函数是否单调变得非常重要。对于具体函数与抽象函数的单调性判断问题，文章引入了如下一些方法。

一、特定函数单调性判断法

（一）定义的方法

通常情况下，设定f是定义于D中的函数。若对任何x1、x2∈D，当x1f（x2））成立时，称f为D上的严格增（减）函数。[2]

应用定义，证明了函数y=f（x）单调于给定间隔D的一般程序：

（1）设元，任取x1,x2∈D且x1

（2）作差f（x1）-f（x2）；

（3）变形（一般采用因式分解与配方相结合）；

（4）断号（即判断f（x1）-f（x2）和0的尺寸）；

（5）定论（即指出函数f（x）给定区间D单调性）。

例1通过定义证明了（判断）函数/（0,+∞）中单调性。

证明设x1、x2∈（0,+∞），且x1又00，

每小时x1x2-k≈0对于f（x1）-f（x2）≤0来说，这时函数f（x）是一个减函数；

当/时x1x2-k>0,f（x1）-f（x2）<0，此时函数f（x）为增函数。

总之，函数/是区间/范围内的减函数；区间/内是一个增函数。

本题函数f（x）是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时，通常需要进行因式分解，由于x1x2-k与0的大小关系（k>0）不明确，所以要分段讨论。

利用定义法确定函数单调性更适合于定义域中任意两个数字x1和x2在x1解题中，定义法最为直接，是大家最先想到的一种办法，尽管此法思路清晰一些，但是一般流程较为繁琐。

（二）导数法（具体函数万能方法）

函数的单调性与导数的关系：在某个区间（a,b）内，如果f′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，如果f′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。

（三）函数性质的方法

基本初等函数性质法，就是利用单调函数的特征，对函数单调性进行判定。函数性质法一般是和我们常用的简单函数单调性综合运用。运用常见的有关函数单调问题的若干性质，可以归纳出以下几点结论。

（1）f（x）与f（x）+C单调性相同。（C为常数）

（2）当k>0时，f（x）与kf（x）的单调性相同；当k<0时，f（x）与kf（x）的单调性相反。

（3）如果f（x）恒不等于零时，则f（x）与/具有相反的单调性。

（4）当f（x）和g（x）均为D的增（减）函数，f（x）加g（x）为D的减（减）函数。

（5）当f（x），g（x）在D上都是增（减）函数，且都恒大于0时，则f（x）g（x）在D上是增（减）函数；当f（x）和g（x）均为D的增（减）函数并且二者均恒小于0时，f（x）g（x）为D的减（增）函数。

（6）设y=f（x），x∈D是严格增（减）函数，则f必有反函数f-1，且f-1在其定义域D上也是严格增（减）函数。

例2判断f（x）=x+x3+log2x3+2x+1（x2+1）+5的单调性。

解函数f（x）的定义域为（0,+∞），由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3均为增函数，因为2x+1>0,x2+1>0，由性质（5）可得2x+1（x2+1）也是增函数；由单调函数的性质（4）知x+x3+log2x3为增函数，再由性质（1）知函数f（x）=x+x3+log2x3+2x+1（x2+1）+5在（0,+∞）为单调递增函数。

函数性质法仅能借助所熟知的单调函数来判定某些函数是否单调，所以先将函数等效转化为所熟知单调函数四则混合运算形式，再利用函数单调性这一特性来进行判断，但是有一些函数无法转化为简单单调函数四则混合运算的形式是无法用此法进行判断的。

（四）图像法

利用函数图像判断其单调性，称为图像法。[5]根据单调函数图像特征，如果函数f（x）图像在区间I处由左向右逐渐升高，那么函数f（x）就是区间I处的增函数；如果函数f（x）图像在区间I上从左到右逐渐下降，那么函数f（x）在区间I上就是一个减函数。

例3如图所示，它是闭区间[-5,5]中函数y=f（x）所定义的一个图像，试图确定它的单调性。

函数y=f（x）的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）。其中函数y=f（x）在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数y=f（x）在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数y=f（x）在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从左往右逐渐上升的，则函数y=f（x）在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。

利用函数图像法评判函数单调性更为直观，函数图像能形象表达函数值随自变量增大而增大的趋势，但是作图一般较为繁琐。对较易做出形象的函数采用形象法较为简单直观，可与物理中的波叠加相似地粗略绘制形象。而且对不便于作图的功能也不甚适用。但是若借助有关数学软件去对函数进行成像，则利用成像法来判断函数单调性就很简单和方便。

（五）复合函数单调性的判断方法

定理若函数y=f（u）在U内单调，u=g（x）在X内单调，且集合{u|u=g（x），x∈X}⊂U.

（1）若y=f（u）是增函数，u=g（x）是增（减）函数，则y=f[g（x）]是增（减）函数。

（2）若y=f（u）是减函数，u=g（x）是增（减）函数，则y=f[g（x）]是减（增）函数。

概括这个定理可以得到口诀：同是增加，异是减少（同增异减）。[6]

确定复合函数y=f[g（x）]单调性的一般步骤：

（1）将其合理分解为2个基本的初等函数：y≠f（u）和u≠g（x）；

（2）分别求解了两种基本初等函数在定义域内；

（3）分别定义了单调区间；

（4）如果相应区间内两个基本初等函数单调性同时单调递增或单调递减，那么y=f[g（x）]就是增函数，如果是一增一减，那么y=f[g（x）]就是减函数（同增异减）；

（5）求相应区间的交集，既是复变函数y=f[g（x）]的单调区间。

例4求f（x）=loga（3x2+5x-2）（a>0且a≠1）的单调区间。

解由题可以得到函数f（x）=loga（3x2+5x-2）由外函数y=logau与内函数u=3x2+5x-2组合而成。由问题可知，函数f（x）定义域为/内函数u=3x2+5x-2为/内增函数、（-∞,-2）减函数。

1如果a>1，则外函数y=logau是增函数，由同增异减法则得到，因此函数f（x）是/上增函数；函数f（x）为（-∞,-2）中的减函数。

2若0函数f（x）为（-∞,-2）中的增函数。

二、对抽象函数单调性进行判定的方法

若函数不给具体解析式则称此类函数为抽象函数。抽象函数无具体解析式，需要充分抽取题目条件所给信息。

通过作差（或者作商），根据题目提出的信息进行变形，再与0（或者1）进行大小关系的比较，判断其函数的单调性。

按照单调函数的定义试图从题中凑出“f（x1）-f（x2）”式，再将f（x1）-f（x2）和0之间的尺寸关系进行比较。

例5已知函数f（x）对于任意实数m、n都有f（m+n）=f（m）+f（n），并且当m>0时，f（m）>0，试讨论函数f（x）的单调性。

解 由题得f(m+n)-f(m)=f(n),令x1 + n,x2=m,且x1, 且 x1 Last Night Students Last Night Students

又由题意当m>0时，

f（m）>0⟹f（x1）-f（x2）=f（n）>0，所以函数f（x）为增函数。

对抽象函数而言，因抽象函数并无具体解析式，所以需要充分抽取题中条件所给信息并观察其结构特点。利用定义法确定抽象函数的单调性更适合于对定义域中任意两个数字x1和x2而言，在x1定义法最为直接，思路清晰，解题时灵活地选用方法。

结语

文章在对单调性进行界定的基础上，归纳出常用的单调性判定方法。文中将函数分成具体函数与抽象函数两类加以论述，并对各类函数给出几种单调性判断方法。对特定函数，我们可采用各种方法来判断函数的单调性，尤其是导数法具有普遍的适用性，如果借助计算机，图像法又是最为简便直观的。对抽象函数单调性的定义方法。这类试题既抽象又综合性强，要求学生思维能力强，常常难以找到数学符号和数学语言的内在联系。所以在评判函数单调性问题时，要灵活地选用合适的方式，这样才能让解题过程变得最为简便。

参考文献

[1]赵闻敏.高一学生函数单调性学习的研究[D].上海：华东师范大学，2015.

[2]张萍，戴志祥.函数单调性定义的理解及应用[J].河北理科教学研究，2012(6)：24-26.

[3]王成霞.导数法与函数的单调性[J].高中数学教与学，2003(4)：8-9.

[4]焦景会.判断函数单调性的通法[J].高中数理化：高一，2007(10)：4-5.