解析函数融入军事案例教学实践探究

解析函数融入军事案例教学实践探究

陈兰花1, 王志勇,曹襄雅

1湖北武汉，空军预警学院，邮编：430019

摘 要：解析函数是复变函数与积分变换课程的重要基础概念，有广泛的应用基础.共形映射是解析函数的一种类型.结合实际设计飞机机翼升力大小计算这一军事应用案例，将其融入共性映射课堂教学，探索问题求解的同时学习新知，帮助学员理解知识掌握应用.并对教学过程评价，总结好的经验和不足供后续教学实践借鉴.

关键词：解析函数；共形映射；军事案例；飞机机翼升力计算

解析函数是《复变函数与积分变换》课程研究的主要对象，是课程后续内容研究学习的重要基础，它在生产实践和科学实验中有着广泛的应用．解析函数能将z平面上的区域变为w平面上的区域，它是一个保角映射.利用解析函数的特性可以简化一些复杂问题的求解.对于高等院校理工科学员，解析函数的教学目标包括理解解析函数的概念、会计算其倒数等，理解共形映射的定义、分式线性映射，会解决相关的实际问题等.因此，广泛探索将实际应用问题融入教学过程的教学实践，既能促进学员对所学知识的理解，又能让学员感受学而能用的学习成就感.探索军事方面的应用融入课堂，能更大程度激发学员的学习兴趣和爱国情愫.这里具体探索解析函数中共形映射、保角映射的教学中融入军事案例的实施过程.

一、军事案例设计

1904年，俄罗斯科学家茹科夫斯基创立了现代机翼理论，说明了机翼在飞行中产生升力的道理，并且从数学上给出了严格的证明.他的主要成就在于其思想奠定了航空科学未来发展的基础.茹柯夫斯基在设计飞机的时候,用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题.机翼截线也称为茹科夫斯基截线，该曲线形状很像飞机机翼的横断截面周线.茹科夫斯基用它做机翼的形线.它是机翼理论中最基本的一种共形映射.作用于圆可变成同平面上的一个椭圆，这在理论上及共形映射的构造上都很重要.

基于这一背景，可将飞机机翼升力计算问题融入共形映射课堂教学中比较贴切.结合学员现有知识储备，设计如下军事案例问题.

设某型飞机机翼的宽度为，弯度为,厚度为，假设飞机匀速执行某飞行任务，试求：

（1）若飞机飞行时，空气流动的复势为解析函数,定义在单连通区域内，请表示空气流动的复速度；（2）机翼剖面绕流的复势与升力.

二、课堂教学实施

1. 课堂教学设计

教学内容：在《复变函数与积分变换》课程解析函数这一知识内容中，共形映射、保角映射的课堂教学内容主要包括：①共形映射的两个基本问题，一是对于定义在区域上的函数,求象集合；二是对给定的区域和,求共形映射,使.②分式线性函数及其分解.

教学对象:本科二年级学员.

教学流程:通过创设军用飞机执行飞行任务的情境，引出飞机机翼升力大小的计算问题，进而展开共形映射两个基本问题的探讨.在详细介绍几种常见共形映射的特性之后，结合解析函数的基本知识，解决军用飞机相关飞行速度、翼型共形映射区域确定、机翼升力大小的计算等问题.

教学方法:情境问题探究式、启发式教学相结合的方式.

2. 课堂实践

问题引入:几架军用飞机在执行飞行任务过程中，不同的翼型受到的升力不同，飞机机翼升力大小该如何计算呢？由于翼型曲线相对复杂，一般会通过共形映射来转换，简化问题的求解.

新知探究:共形映射主要研究两类基本问题.

问题一 对于定义在区域上的解析函数,求象集合.

因为解析函数在区域上具有保域性，所以能将解析函数的象集合的求解问题变成了求象区域的问题.若函数在域(其中为)上解析，且将曲线双方单值地映射为简单闭曲线，则解析函数在区域上具有边界对应原理，进一步将解析函数的象区域的求解问题变成了求象曲线的问题.借助两个经典教学例题，利用旋转映射和倒数映射求像区域的思路并展示区域图，加深学员对概念、求解思路的理解.

问题二 对任意给定的两个单连通区域和,求共形映射,使.

在教学中，需要让学员深入理解黎曼存在唯一性定理，并学会将基本问题二简化.即只需考虑能把变为单位圆内部即可.这是因为若存在函数把变为，而函数把变为，则把映射为.

新课讲授：讲授分式线性映射和常用定理.形如的函数，称为分式线性映射，其中是复常数.一般分式线性映射总可以分解为下列四种简单映射复合，即平移映射（为一个复数）、旋转映射（为一个实数）、相似映射（）和倒数映射的复合.例如，将分式线性映射分解为四种简单函数复合，即

.

问题解决：针对前面设计的军事案例，依次求解案例中的两个子问题.

（1）由于是解析函数，故在单连通区内可导，可得相应空气流动复速度.

注意这里飞机以不变速度在天空飞行.若把坐标系取在飞机上，这样对坐标系而言，飞机是不动的，而空气冲向飞机而流动.离飞机很远处的空气速度（无穷远处的速度）可看作是不变的，记作，而就是飞机速度的大小.设想机翼很长，又不很大并使空气处于不可压缩的状态下，则在垂直于机翼且与翼端不很近的每一个平面上，空气的流动可近似地认为是平面稳定流动，则在流动区域内，空气流动的复速度与复势

都是解析函数.

（2）将映射、、复合可得

，即有

进而求得其反函数，能将圆弧外部区域共形映射到圆周外部区域.由此可得：在以上共形映射下，任何通过点与圆周相切的圆周的原象是一条包含圆弧在内的、在点处有一个尖点的闭曲线，这条曲线，就是相应的机翼剖面边界，其外部区域即为.

由题意可设圆周：，其中，，又因为映射把圆周的外部区域共形映射到圆周的外部区域，故所求共形映射.把机翼剖面外部区域共形映射到的外部区域.

设是沿机翼剖面边界的环量，根据问题（1）的结论以及前面的分析可得，对机翼剖面绕流的复势，而流体的复速度和速度分别为

，

其中.

在机翼上有著名的恰普雷金(苏联力学家，数学家)升力公式,

其中为空气密度.代入可得升力.根据题意，可计算得到环流量.由于，代入整理的升力大小为

这个公式表明，升力的大小与机翼剖面形状特别是后缘尖点（）的位置有关.

三、教学实践评价

本堂课设计的案例借助常用的几种共形映射初步探讨了不可压缩流体在机翼表面产生升力大小的计算.课堂教学中，通过创设几架飞机匀速执行飞行任务的情景展开分析，由不同机翼翼型升力大小不同，进而引出问题，激发学员学习兴趣，并能现学现用，利用共形映射将复杂问题简化，提升学习的自信心.本案例融入教学也存在不足之处，解决此问题需要学员有较深厚的知识储备.比如，解析函数理论、高等数学中环流量的计算、共形映射的概念以及扎实的计算能力，因此，对学员的学习要求比较高，有一定挑战性，授课前需要充分做好预习和引导.

参考文献

[1]王志勇.复变函数与积分变换[M].武汉：华中科技大学出版社，2017年：23-28.

[2]凌浩.浅谈复变函数课程之于应用型本科人才培养[J].教育现代化,2019（11）：13-14.

[3]王鹏宇.飞机机翼翼型与其产生升力的研究[J].中国科技纵横,2018(12)：65-67.