高职班“函数的微分教学设计（第1课时）”

高职班“函数的微分教学设计（第1课时）”

谭春归

广西工业职业技术学院 广西南宁 

一、内容与解析

1.内容

函数微分的定义，函数微分在近似计算中的应用

2.内容解析

由函数增量的计算问题引出函数的微分，函数的微分是学习不定积分和定积分的基础。在工程问题中，很多时候都可以用近似计算处理现实问题，因此学习函数的微分在近似计算中的应用显得尤为重要.基于以上的分析，本节课的教学重点是：微分在近似计算中的应用.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解函数微分的定义

（2）利用微分求近似值

2.目标解析

（1）让学生理解当很小时，.

（2）学生掌握函数增量的近似计算公式，函数值的近似计算公式 .

三、教学问题诊断分析

由于学生有学习导数的概念、导数的求导法则的经验，其研究的步骤和方法都可以迁移到函数微分的学习中，这不仅有利于学习本节课的学习，同时也有利于本章其他内容的学习.随着高职的扩招，高职院校的学生生源越来越多元化，高职院校生源包括普通高中毕业生，单招生和中职毕业生.目前高等数学的内容普遍适合已掌握普通高中数学的学生，而对于只学少量高中数学的中职毕业生而言，高等数学知识与他们说学的知识严重脱节.因此，在教学中需要引导学生观察，当正方形边长的增量很小时，面积的增量近似等于面积函数的导数与变成增量的积，从形的角度让学生体会当正方形边长的增量很小时. .再从数的角度，让学生体验很小时.基于以上的分析，本节课的教学重点是：从数和形的角度，让学生直观的感受到当很小时，，能够灵活运用微分求近似值.

四、教学过程设计

1.创设情境，引出问题

问题   一个正方形的铁片，受热后均匀膨胀，边长由变为，问铁片的面积大体改变了多少?

师生活动：教师引导学生认真读题，分析题意.

追问1 面积的增量

分成两部分，在图中对应哪些图形的面积？

师生活动：引导学生把面积增量分成两个部分，

第一部分是，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，第二部分是，即图中右上角带网格线的小正方形的面积.

追问2 当边长的增量很小的时候，面积的增量主要是由哪一部分决定?

师生活动：教师利用几何画板，拖动边长增量的控制键，引导学生观察，发现当很小时，面积的增量主要由这一部分决定. 当时，是比高阶的无穷小，是的次要部分.得出结论

追问3. 的导数等于多少？

师生活动：学生求导，师生共同讨论得出结论，当很小时，.

设计意图：利用几何画板演示当很小时，面积增量约等于面积导数乘以边长增量引出微分的定义，

2.介绍微分的概念

定义2.2  设函数在点处可导，自变量由变到，则把叫做函数在点处相应于自变量增量的微分，记作或，即

或.

此时，也称函数在点处可微.

函数在任意点的微分，叫做函数的微分，记作或，即或.

3.合作探究，形成知识                                                                

小组合作，完成下列题目.

(1)求函数当时的增量和微分.              

(2)求函数当时的增量和微分.

(3)求函数当时的增量和微分.

(4)求函数当时的增量和微分.

设计意图：分组合作，完成课堂练习；合作探究，从数的角度体会当很小时.

   4.初步应用，巩固知识

例 求的近似值.

解需求函数值的近似值，设， 取，，由

，

得                      ，

因为，，所以

设计意图：掌握函数值的近似计算公式、求函数值的近似值的步骤、方法和依据.注意：（1），易于计算；（2）相对于很小.

5.综合运用，深化提高

例一个半径为1厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜.镀层厚度为0.01厘米.估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为）

解需用铜的质量等于镀层的体积乘以铜的密度.

镀层的体积等于两个球体体积之差，由球的体积得镀层的体积为

，

利用近似计算公式（2.2）求函数增量的近似值，得

，

依题意，，，得

，

因此每只球需要用铜约为（克）.

在公式中，令，得

当很小时，利用式可以求函数在点附近的近似值.

根据式，可以得到几个工程上常用的近似计算公式（很小）：

（1）  ；  （2）   ；    （3）；

（4）；           （5）.

证明从略.

设计意图：掌握函数增量的计算公式.强调可以利用函数的微分得出工程上常用的近似计算公式.

6.小结提升

1.这节课我们学习了什么内容？

2.类比导数的学习，你认为对于微分应该进一步学习微分的哪些问题？

设计意图：共同回顾本节课学习的内容，联系导数的相关问题，提出微分应该研究的问题.

参考文献

[1]刘崇华，杨巍.高等数学[M].北京：中国铁道出版社有限公司，2022.

[2]同济大学数学系. 高等数学[M].高等教育出版社,2014.