三角函数恒等变换及三角函数最值求解的思路分析

三角函数恒等变换及三角函数最值求解的思路分析

李津任

庆安县第一中学

摘要：文章对三角函数恒等变换及三角函数最值求解的思路进行综合分析，以具体题型为佐证，抛砖引玉，以供参考。

关键词：高中数学；三角函数；恒等变换；最值求解

引言：

高中三角函数知识点广泛，且题型复杂多变，也因此常常是学生的“眼中钉、肉中刺”，事实上，解答三角函数恒等变换及三角函数最值求解类习题，也有着相应的方式方法，需要学生正确把握住解题的思路与方法，更加灵活地进行解答，从而提升学生的解题能力。

一、三角函数恒等变换

（一）公式法

三角函数基本变形的公式，包括两角和差公式、二倍角公式、升幂与降幂公式、半角公式、三倍角公式等。对于一些结构比较简单的习题或者习题中有较为清晰的数字关系，可以直接带入公式进行恒等变换计算[1]。

例1：cos45°cos15°sin45°sin15°=？

解析：两角和差公式中：cos（α+β）=coscosβ-sinαsinβ，本题带入两角和差公式中进行逆向求解即可。

解：cos45°cos15°sin45°sin15°

=cos（45°+15°）

=cos60°

=

（二）结构变换法

构造法是在基本公式的基础上，结合诱导公式、拆角拼角、升幂降幂、平方化“1”等过程，对基本公式进行深入运用[2]。结构变换法要点有三：一是找角关系；二是找次数关系；三是找题干中的明显标志。

例2：已知sin+cosβ=1，cos+sinβ=0，求sin（+β）=？

解析：平方化“1”指：+=1，又因为两角的正弦和差中：sin(+β)=sincosβ+cossinβ，本题的题型与平方化一和两角和差公式有高度的相似性，因此考虑从这一方面入手。

解：对条件两式进行平方

得到+2sincosβ+=1       ①

+2cossinβ+=0           ②

①+②得：1+2sin（+β）+1=1

∴sin（+β）=

例3：已知sin（β）=，cossinβ=，求cos（2+2β）=？

解析：观察题干给出的条件，发现sin（-β）中包含cossinβ，题干中有明显的标志，那么不妨对sin（-β）展开，再一步步进行探究。而cos（2+2β）一项，明显是要通过二倍角公式进行化简，再去根据已知条件去解答。

解：sin（-β）=sincosβcossinβ=

∵cossinβ=

∴sincosβ=

cos（2+2β）=cos2（+β）=1-2sin2（+β）

∵sin（+β）=sincosβ+cossinβ=+=

∴12sin2（+β）=12×（）2=

（三）换元法

对于比较复杂、难算的部分，将其进行换元，从而将整个式子转化为简单、常见的部分，再进行相应的计算，能够让计算过程更加简单[3]。

例4：已知sin()=，求sin（2+）的值是多少？

解析；观察题干给出的两个条件中，和有关系，和2有关系，明显需要对其进行转化，但因为有两个变量，转化时比较复杂，因此使用换元法，将其化为一个变量来解决。

解：设 =β

则= - 2β

则2+=2（2β）+=4β

则sin（2+）=sin（4β）=cos4β=2cos22β1

∵cos2β=12sin2β=1-2×（）2=

∴sin（2+）=2cos22β1=2（）21=

二、三角函数最值求解

（一）利用三角函数的基本性质求解

三角函数最值求解的问题，就是在三角函数恒等变换的基础上，将复杂的三角函数式子转化为简单的三角函数式子，再根据三角函数的性质，如单调性、奇偶性、对称性、有界性、定义域与值域等特点，去进行解答。

例5：求三角函数y=sin（x）+sin（x+）（x∈R）的最值？

解析”：先用恒等变化的方式对本题中复杂的式子进行简化，在化简过程中，根据“找角关系”的方法，需要从角x-与角x+的关系入手。化简之后，根据性质进行求解。

解：∵sin（x+）=cos（x）

∴原式=sin[（x）+]=sin（x+）

∵x∈R

∴ymax=，ymin=

（二）转化为代数问题、解析几何问题进行求解

除了化简后利用基本性质求解外，还可将三角函数转化为代数中的二次函数、一元二次方程、不等式以及解析几何问题进行求解，其中需要运用一些分类讨论思想、化归思想、数形结合思想以及代数运算[4]。

例6：例6：求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。

解析：因为本式子比较复杂，所以采用换元法进行化简。化简后转化为了二次函数问题，顺理成章地利用二次函数方法进行解答。

解：设t=sinx+cosx，则t=sin（x+），t∈[,]

（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx          （平方化一）

∴sinx·cosx=（t2-1）

∴y=（t2-1）+t=（t+1）2-1，t∈[,]    （抓化为二次函数问题）

本函数是关于t=-1为对称轴，开口向上的二次函数

∴当t=时，可取的最大值，ymax=+

三、结束语

研究三角函数恒等变换以及最值求解的方法，以便在教学中有的放矢地展开教学，意义重大。本文即在参考相关文献资料的基础上，结合个人教学经验，对此论题进行了探讨，抛砖引玉，以供参考。

参考文献

[1]季克程.关于三角函数恒等变换及三角函数最值求解的思路分析[J].数学学习与研究,2021,(04):158-159.

[2]王辉.如何解答三角函数最值问题中的三角恒等变换问题[J].语数外学习(高中版上旬),2019,(10):42.

[3]高庆杰.进行三角恒等变换需注意的几个要点[J].语数外学习(高中版下旬),2023,(02):39.

[4]林运来.例谈三角函数最值问题的求解方法[J].中学数学杂志,2023,(11):44-46.