教学要在关键处着力

教学要在关键处着力

        ---数学活动设计与思考

李爱平

北京市顺义区空港小学（101318） 

一、案例回顾

教学片段：解决“同样多”问题，你是怎么做的？

上课伊始，教师直接进入主题：为了学习乘法和除法，小刚和小红买了很多捆（每捆都是10根）小棒。小刚有3捆小棒，小红有7捆小棒。小红给小刚多少捆小棒，两个人就同样多了？教师提示学生如果有困难，可以借助画图或者圆片学具画一画、摆一摆。最后进行作品展示。

生1：             生2：               生3：            生4:

教师首先给学生2分钟的时间思考：黑板上的这些作品，谁和“我”想的一样？谁和“我”想的不一样？不一样的地方在哪？他是怎么想的？

2分钟思考时间结束后，教师看到生2的作品规范、清晰，所以找了第一个学生（生2）来阐述他的想法。

生2：小红有70根小棒，小刚有30根小棒，第一步70-30=40（根）求的是小红比小刚多的小棒数。然后40÷2=20（根），求的是把小红比小刚多出来的40根小棒给小刚一半，他俩就一样多了。大家有什么问题吗？

全体学生：没有！

教师：为什么给小刚一半？

学生七嘴八舌：这样才一样多。

教师：你们真厉害！那我们看生3的作品和生2的作品，你有什么发现吗？

生5：图不一样，式子也不一样。

教师：图确实不一样，式子再看看。

生6：单位不一样，一个用的根，一个用的捆。

教师：你的发现很及时，那都对吗？（学生们看了看题目，想一想，回答：都对！）没错，都可以，那还有哪里一样吗？

生7：都是先求70-30=40（根），7-3=4（捆），然后再求40÷2=20（根），4÷2=2（捆）。但是一个是两个式子，一个是综合算式。

教师：你说的很准确，他们的思路是一样的，都是先求小红比小刚多的，再把多出的部分的一半跟给小刚。那么生1和生2呢？

全体学生：他俩还没写完。

教师：嗯，他们只是求出了小红比小刚多了4捆。4后面的单位应该是捆，不是根。那么，同学们看生4和前面4位学生的作品思路一样吗？

学生疑惑地看着，偶尔有几个同学摇摇头。

教师：那我们请这位同学给大家说说他的想法。

生4：我先求的是小红和小刚一共有10捆，然后他们一样多，就是10÷2=5（捆），就是他们每人5捆。后面我就想不出来了。

教师：你可以看你上面的图，结合你的图来说。（教师等了一分钟，学生还是没有想法）谁可以来帮帮他。

生8：每人平均5捆，小刚有3捆，题目问的是小红应该给小刚几捆，应该是两捆。

教师问生4：你听懂他说的了吗？你能接着把题解完吗？

生4：

教师：同学们看黑板上学生们的解答作品，如果我们把这些作品按照思路分成两类的话，应该怎么分？

生9：生4作品是一类，其他是一类。

教师：是的，生4是先求总和再平均，然后移多补少；其他同学是先求差额，再把多出的部分平均。

学生把两种方法结合图介绍的很清楚，听的同学也表示听懂了、没有问题。教师很满意地来到第二个活动：同学们，想一想我们的现实生活，在哪些情境下的实际问题也能用这种“移多补少”来解决？学生经过短暂的思考过后写在了自己的活动单上，老师叫两名同学读了他们的问题，学生1把小棒换成了苹果，学生2是把小棒换成了石头。

接着教师引导：比较这些情境，有什么不同？有什么相同？

学生们说：出问题不同，但是都能用今天学习的方法来解决。

教师觉得这个答案不解渴，进行了总结：不管是什么情境，只要需要把两个量变成同样多的量，就叫相同型问题，这类问题我们都用“总和平分”或者“差额等分”的方法来解决。

二、思考困惑，提出问题

第一，差额等分这类问题，学生的真实困难是什么？

课堂中，学生交流作品没有问题，是真的不存在问题，还是学生没有发现问题？这节课学生的困惑点在对2的理解不透彻，不管是总和平分还是差额等分的移多补少，都有“2”的存在，那么每种方法中的“2”所代表的的含义一样吗? 

第二，教学中应该如何着力，才能帮助学生解决困难，建立起这类问题的模型？

教师找到了学生的真实困难，又该如何实现破解？比如，学生在交流作品的时候，都说没有问题，那教师又该何时介入？何时提问？以什么方式提问？才能让学生更加透彻的理解困难点。如果教师只是把学生说过的重点再重复一遍，显然是不能达到效果的。

三、反思改进

针对上述所提问题，在参阅相关文献的基础上，做如下分析：

（一）教学从关键处蓄力

本节课虽然进行了课前调研，教师知道学生有相同型问题的经验，所以教师选择直入主题。但是经验有可能造成学生的负迁移。比如学生没有区分出来“小红给小刚多少捆小棒，两个人就同样多了？”和“小刚再买多少捆小棒，两人就一样多了？”这两个问题的差异，用“7-3=4（捆）”来解答。尽管学生在交流作品环节，教师重点强调了这两个问题的差异，但是因为不是学生自己想出来的，用“7-3=4（捆）”来解答的这部分同学，通过课堂后面环节的观察，他们还是不明白。

    针对这部分学生，我们可以在课前引入环节，就将两个问题进行对比解答。让学生自己发现两个问题的异同，进行自己发现解答的差异。这样可以避免学生解题过程中的差错。如果教师课前引入没有涉及，那么在学生出现这个问题时，可以引导学生，这个算式解答的是哪个问题，这两个问题的差异在哪里，进而引导学生独立探究新问题，这样教师也可以化错。

（二）教学从关键处发力

（1）教师增加了主观难度

教材中例题是这样的：小刚有30根小棒，小红有70根小棒，小红给小刚多少根小棒，两个人就同样多了？图示中小刚和小红拿的小棒是一捆一捆呈现的。我当时就想，这么整十数，学生关注点会不会从模型问题转为计算问题，为了突出重点，三下五除二，我当即换了情景和问题：为了学习乘法和除法，小刚和小红买了很多捆小棒。小刚有3捆小棒，小红有7捆小棒。小红给小刚多少捆小棒，两个人就同样多了？本以为万事大吉的我，没想到学生在相互交流自己作品的时候因为计算的结果和计算过程中平分的过程都是“2”，增加了难度。

（2）相等型问题存在客观难度

相等型问题低年级就不简单，它需要学生去思考如何从外部获得多少，才能达到平衡；到了中年级，学生需要思考，如何实现内部平衡，这对于学生来说，是很难的。

相等型数学问题的实质是平均数。所以不管是总和平分后移多补少，还是差额等分移多补少，数字“2”都是关键。无论哪种方法，都要让学生透彻理解“2”的意义。“2”理解的不透彻，直接导致学生似懂非懂的状态，导致学生接下来的活动“跟不上”。

在“总和平分后，移多补少”这个活动中，学生的困惑点在于明明是5捆，怎么就又是2捆了？要弄懂这个问题，需要说清楚算式中的“2”。3+7=10（捆）是两人一共有10捆小棒；10÷2=5（捆），这个“2”的含义是把总共的10捆小棒平均分给两个人，每人应该是有5捆小棒；7-5=2（捆），5-3=2（捆）[3+2=5（捆）]，这两个算式中的“2”其实代表的是同样的两捆小棒，她即使小红给小刚的两捆，也是小刚从小红那里拿的两捆，它既是移出去的，又是拿过来的。这个“2”的理解尤其重要，教师可以让学生自己在摆和移动原片（或小棒）的运动过程中，从运动的视角来充分理解。

在“差额等分，移多补少”这些学生作品中，学生能用7-3=4（捆）来表示，实际上表明在这些学生中存在一个“一一对应”思想，他们其实是把小红的小棒分成了两个部分，一部分是小红和小刚一样多的部分，另一部分是小红比小刚多出来的部分。第一部分小红和小刚一样多，实际上已经完成了一一对应，那么只需要把小红比小刚多出来的部分再给小刚一半，就可以完成多出来部分的一一对应，也就是4÷2=2（捆），把多的平均后移给小刚，这样多的部分也完成了一一对应。

这两种方法实际上÷2的2含义是相同的，都是平均分，不同点是一个总和平均分、一个是差额平均分。而最后得到的“2”是移多的“2”和补少的“2”。

数学教师一定是要把数学问题的本质给琢磨透了，这是教学的基础。