利用正交变换求函数最值-中国期刊网

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（整期优先）网络出版时间：2012-03-16

作者: 宋志武

文化科学

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[摘要]文中介绍了利用正交变换求二元函数最值的一种新方法。其思想是利用正交变换化简限制条件和目标函数使其与椭圆方程和双曲线方程建立联系,当曲线是椭圆时有最大值与最小值,是双曲线时只有最小值。并举例说明该方法求最值简洁有效．
[关键词]正交变换正交矩阵最值

一、正交变换的定义[1]
正交变换：保持长度不变的线性变换是正交变换．即对于任意的中的线性变换有：
(δ(α),δ(β))=(α,β) （1）
则称δ是正交变换．
实际上，正交变换是欧式空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换，在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，所以正交矩阵的乘积与其逆矩阵也是正交矩阵．
（一）引理[2]
设A是n阶实对称矩阵．那么存在一个n阶矩阵U，使得UTAU是对角矩阵．
二、正交变换解最值问题
求最值问题是数学学习中一个很重要的内容，一般的求解方法是利用拉格朗日乘数法解函数条件极值[2]从而求出最值．下面举例说明用正交变换求二元函数最值的具体方法步骤．
问题求F(x,y)=x2+y2在条件ax2+bxy+cy2=1下的最大值和最小值．

（1）当c1、c2均大于0时，（5）式为椭圆方程，求F(x,y)=x2+y2的最大值和最小值，转化为在椭圆上求一点，使得到圆点距离的平方（x2+y2）的极大值或极小值[4]．（当c1=c2=1时，c1x2+c2y2=1即为单位圆）
（2）当c1、c2中一正一负时，（5）式为双曲线方程，即原问题转化为在双曲线上求一点，使得到圆点距离的平方（x2+y2）的最大值或最小值，但此时并不存在最大值[4]．
（3）当c1、c2都小于0时，与c1x2+c2y2=1矛盾，所以此种情况不存在．

例1 试求F(x,y)=x2+y2在条件3x2+4xy+3y2=1下F(x,y)的最大值和最小值．

三、结束语
本文介绍了正交变换在求解函数最值方面的具体应用，与拉格朗日乘数法解函数条件极值求最值相比，有更加简洁、直观的特点。此外正交变换还有其他广泛的应用．如：正交变换在多元函数积分中的应用、在多元Taylor公式中的应用、用正交变换化二次型为标准型的初等变换方法等等。不仅是因为它保持向量长度不便的性质，更因为它符合数学发展的代数化潮流，集合了数学方法中丰富的数学思想，使之能够在数学分支中发挥重要的作用．
[参考文献]
[1]张禾瑞.高等代数[M].北京,教育出版社.1983．
[2]华东师范大学.数学分析[M].北京,教育出版社.1981．
[3]高等代数同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社.2005．
[4]孙涛.数学分析经典习题解析[M].高等教育出版社.2001.
[5]刘玉连.数学分析[M].北京.高等教育出版社.1971．
（作者单位：武警工程大学基础部陕西西安）

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