高考数学复习中学习与迁移问题的分类

高考数学复习中学习与迁移问题的分类

◆赵善华

◆赵善华华东师范大学附属周浦中学201318

学习迁移即一种学习对另一种学习的影响，它广泛地存在于知识、技能、态度和行为规范的学习中。任何一种学习都要受到学习者已有知识经验、技能、态度等的影响，只要有学习，就有迁移。迁移是学习的巩固和继续，又是提高和深化学习的条件，学习与迁移不可分割。数学新知识的掌握总在某种程度上改变着原有的数学认识结构；学生对自己已经掌握的数学知识进行重新组合，往往可以形成新的数学知识。诸如此类的数学知识之间的相互影响，都可以看成是数学学习与迁移的现象，因此，对数学学习与迁移的研究是非常重要的。

学习与迁移型问题一般有定理学习型、定义学习型、方法学习型。解决学习迁移问题的关键是阅读理解，通过对当前定义、定理、法则、方法的学习并灵活运用于解题之中。学习与迁移型命题是训练学生思维的敏捷性与独创性良好的素材，是素质教育的必然产物，是高考数学命题的新题型之一，备受命题专家的青睐。常见问题有下面几类：

一、概念的学习与迁移

即问题中涉及到以前未曾学习过的概念与运算法则，而解决此问题又必须用到这一概念与法则，因此在做题之前，首先要对此进行阅读理解，即时学习，并加以灵活运用。

例1．对集合{θ1，θ2，θ3，…，θn}和常数θ0，定义：μ=为集合{θ1，θ2，θ3，…，θn}相对θ0的“余弦方差”。求证：集合{，，π}相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值。

分析：首先要正确理解有关“余弦方差”的定义，得到当n=3时的表达式，并在此基础上再进行适当简化。

解：μ=

=[+++]

=+（coscos2θ0+sinsin2θ0+coscos2θ0+sinsin2θ0+cos2θ0）

=+（-cos2θ0+cos2θ0+）=

本题属于学习概念问题，首先必须理解“余弦方差”的概念，再进行相关的运算。在遇到平方和的情况时首先要考虑降次，然后利用和角公式进行化简。

二、定理、规则的学习与迁移

即指在已有知识的基础上，设计一个新的数学情境，通过阅读相关信息，利用题目引入的新定理、规则进行解答的一类题型。这类问题背景新颖，能有效考查学生的思维品质和学习潜能，在解题之前首先要对此进行学习。

例2．已知集合M是同时满足如下条件的函数y=f（x）,x∈D的全体：①f(x)在D上单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D，使f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]。

(1)求函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]。

(2)判断函数y=3x-1gx是不是集合M的元素。若是，说明理由，并找出区间[a，b]；若不是，说明理由。

(3)若函数y=k+x+2为集合M的元素，求实数k的取值范围。

分析：本题要求在阅读与理解的基础上来解决新问题，解题时正确理解题设条件的意义是必要的前提，这一点应引起重视。第（2）小题可以在观察、分析的基础上，通过反例来加以判断。第（3）小题则需要在正确理解题意的基础上，通过化归思想把问题转化为熟悉的问题予以解决。

解：（1）因为y=-x3在R上单调递减，所以a、b应满足

a<b

-a3=b。解得，即[a，b]=[-1，1]。

-b3=a

（2）取x1=0.001，则y1=3.003。取x2=1，则y2=3；取x3=10，则y3=29；则y=3x-1gx在（0，＋∞）上不是单调函数，所以y=3x-1gx不是集合M的元素。

（3）因为函数y=k+x+2为集合M的元素，且函数y=k+x+2在[-2，+∞）为增函数，设满足条件（2）的区间为[a,b]，则有，即a、b是方程k+x+2=x的两根，所以x+2=x-k。令f（x）=x+2，g（x）=x-k，分别在同一平面直角坐标系下做出两函数的图像，故两函数图像应有两个交点。利用运动的观点和数形结合方法，可以发现，当直线l：y=x-k从l1：y=x+2平移到直线l2（l2和曲线C相切，且l1∥l2），不包括l2的位置时，直线l与曲线有两个交点，易求得直线l2的方程为y=x+，故-<k≤-2。

以上几例主要考查了定理的学习与应用，解题关键是对新的定理的学习、理解。这需要一定的阅读理解能力与较强的应用意识，同时还需要一定的创新精神与实践能力。

三、方法与策略的学习与迁移

即以例题的形式提供给读者一种解题思路或解题方法，要求读者通过阅读理解掌握方法的本质，然后运用其解决与之类似的问题。

例3．阅读不等式2x+1>3x的解法。

设f（x）=（）x+（）x，因函数y1=（）x和y2=（）x在R上单调递减。

若任取x1、x2∈R且x1<x2，则（）x1>（）x2，（）x1>（）x2，（）x1+（）x1>（）x2+（）x2

即有f（x1）>f（x2），因此f（x）在(-∞，+∞)内单调递减。因为f（1）=1，故当x<1时，f（x）>1；当x>1时，f（x）<1。

∴f（x）>1的解为x<1，故不等式2x+1>3x的解为x<1。

（1）试用上面的方法解不等式3x+4x≥5x。

（2）证明：3x+4x=5x有且只有一个实数解x=2。

分析：①3x+4x≥5x（）x+（）x=1。设函数f（x）=（）x+（）x，因为函数y1=（）x和y2=（）x在R上都是单调递减，在R上任取x1、x2且x1<x2，则（）x1>（）x2，（）x1>（）x2；∴（）x1+（）x1>（）x2+（）x2。

即f（x1）>f（x2）,∴f（x）=（）x+（）x在R上单调递减。

又因为（）2+（）2=1，即f（2）=1，∴x<2时，f（x）>1；当x>2时，f（x）<1。

故不等式3x+4x≥5x的解为x≤2。

②方程3x+4x=5x等价于（）x+（）x=1，由①的过程可知后式有且只有一个实数根2，所以前式有且只有一个实数根2。

本题用函数的单调性求解方程、不等式（组），构造恰当的函数是解决问题的关键。因此，要特别注意观察方程、不等式（组）的特性，进行适当的变形，引进函数帮助解决问题。

总之，在数学的学习过程中，学习迁移能力体现在学习者对知识、技能等的记忆、理解、联想和概括能力上，同时也包括非智力因素中情感、态度等方面的迁移。要积极学习迁移类问题，举一反三，触类旁通，开阔思路，强化思维。数学迁移问题的研究在教学和解题过程中的积极作用宛如铺路搭桥、添砖加瓦，是促使学生的思维能力和解决问题的能力得到全面发展和提高的一个重要途径。

参考文献

[1]章建跃数学学习迁移概述[J].中小学教材教学，2002年，第18期（中学理科，第6期）。

[2]莫雷论学习迁移研究[J].华南师范大学学报，1997年，第6期。

[3]王丽琴学习迁移的教学论思考[J].江西教育科研，2000年，第6期。