浅谈二次函数在高中数学中的应用

浅谈二次函数在高中数学中的应用

李秀琴

四川渠县中学李秀琴

二次函数是简单的非线性函数之一．初中，同学们对二次函数已作了研究，但由于认知能力和知识水平的限制，很难从本质上加以理解．进入高中以后，我们将对二次函数的概念和基本性质作深入的研究．因为它一直是高考中命题的重点也是学习好高中数学基础．

一、从集合角度对二次函数概念的理解

初中函数的定义，是从变化的过程中两个相关联量的关系描述的，进入高中后在学习集合的基础上又重新定义了函数，主要是通过两个非空数集间的对应关系来解析函数，因此二次函数是从一个集合A（定义域）到另一集合B（值域）上的对应?:A→B，使得集合A中的任意一个元素x与集合B中唯一的元素y=ax2+bx+c(a≠0)对应，记为?(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应关系．

例1.已知?(x)=2x2+3x+2，求?(2)，?(a)?(x+1)

解析：?(2)是当x=2时的函数值，?(a)是当x=a时的函数值，?(x+1)是把x+1当作自变量，施加f的对应法则．

二、二次函数基本性质的应用．

（—）二次函数的图像，对称轴及其单调性的应用．

例2已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试证：

(1)当b＜－2时，f(x)是递减函数；

(2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥成立．

分析：对于(1)只需考查对称轴，利用数形结合可证．但对于(2)的证明需要从结论中寻求证法，这是一个存在性问题的证明，可想到它的反面不存在，所以联想到反证法，这是方法选择的关键所在．

证明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c

＝(x＋b/2)2＋c－b2/4，

抛物线的对称轴x＝－b/2，当b＜－2时,

－b/2＞1(如右图)∴当b＜－2时，f(x)x∈[－1，1]是递减函数．

(2)假设在x∈[－1，1]内不存在|f(x)|≥，则有

－1/2＜f(x)＜1/2

∴f(－1)＝1－b＋c＜1/2，f(1)＝1＋b＋c＞－1/2

联立解得b＞－1/2与已知b＜－2相矛盾，假设不成立，原命题成立．

评注：在证第(1)问时，若能牢牢把握抛物线开口向上时，以对称轴为界，左减右增的道理，你就会明白此题实际是要证定义域[－1，1]在x＝－b/2a的左边即可，若把注意力放在企图确定函数b和c或为无法确定b和c而苦恼，则证明势必会遇到挫折，因为这种思维是建立在脱离题设的主观空想之上的．

点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析．

(二)．二次函数图象在含参一元二次方程实根分布中的应用

（三）二次函数的最值与对称轴关系的应用．

1．讨论对称轴定，区间变的最值情况．

例3已知函数f(x)=x2-2x-3，试求：在[a,a+2]上函数的最小值.

解析：所给函数是已知的，但区间是可变动的，随着值的不同，区间位置发生变化，而对于二次函数这种非单调的函数来说，其最值不能简单带入端点求解，故需画图帮助分析，如右图：对称轴方程x=1：．

(1)当区间在对称轴左侧时，函数的最小值

是区间的右端点，即a+2对应的函数值，也就是，当a+2<1,即a<-1时，函数的最小值是：f(a+2)=(a+2)2-2(a+2)-3=a2+2a-3

(2)当对称轴处于区间内部时，函数的最小值就是函数的最低点，也就是，

(3)当区间在对称轴右侧时，函数的最小值是区间的左端点，即对应的函数值，也就是，当a>1时，函数的最小值是：

综上，函数的最小值.

2．讨论对称轴变，区间定的最值情况．

例4试求函数f(x)=-x2+2ax_-3在[1,3]上的最大值g(a)．

解析：此类问题是所给区间已知，但所给函数位置不定，随着a值的不同，函数在变．仍需画图分析：

函数可变为：f(x)=-(x-a)2+a2-3，对称轴方程：x=a．

（1）当对称轴在区间左侧时，函数的最大值是区间的左端点，即1对应的函数值，也就是，当a<1时，函数的最大值是：f(1)=-12+2a-3=2a-4

（2）当对称轴处于区间内部时，函数的最大值就是函数的最高点，也就是，当时，函数的最大值是：f(a)=a2-3

(3)当对称轴在区间右侧时，函数的最大值是区间的右端点，即3对应的函数值，也就是，当a>3时，函数的最大值是：

综上，函数的最大值．

三、二次函数与一元二次方程,一元二次不等式的综合应用

二次函数，一元二次不等式是高中数学中比较重要的两个内容,它们贯穿于整个高中数学体系,也是实际生活中数学建模的重要工具之一．尤其是二次函数在高中函数的教学中占有更为重要的地位．在历届高考试题中,二次函数与不等式的思想都是压轴题中不可缺少的内容．不等式与二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想．二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系,使学生能更好地将所学知识融会贯通,为学好高中数学奠定坚实的基础．

例5（2007广东20题）已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[-1,1]上有零点，求a的取值范围．（解法略）

小结：本题考查二次函数、二次方程、二次不等式的相互转化，要求对二次函数的性质达到熟练掌握并运用自如的程度．

二次函数，作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系．可考查学生的数学基础知识和综合数学素质，锻炼学生的数学思维能力，提高学生用数学知识，数学思想方法解决问题的能力．