数学定理学习

赖忠华

乐山东辰外国语学校

摘要 数学定理是数量关系和空间形式本质规律的概括和反映，是数学基础知识的核心内容，是构建数学体系的支柱和骨架，贯穿于数学课程之中。数学定理教学在帮助学生构建完整数学知识体系上可以起到至关重要的作用，是培养学生数学思维的重要载体。本文将分析数学定理的含义及影响学习数学定理的因素，根据“APOS”理论，总结出定理学习的一般过程。

关键词： 数学定理 定理学习

1. 定理及数学定理

数学定理是数量关系和空间形式本质规律的概括和反映，是数学基础知识的核心内容¹，贯穿于整个中学数学课程之中，是中学“图形与几何”这一板块最重要的学习内容，是数学推理论证猜想、发现新定理的重要理论依据。

定理是指经过一个严格控制逻辑证明为真的命题，是建立在公理和假设的基础上，经过严格的推理和证明可以得到的结论。定理可以描述事物之间的内在关系，内在逻辑严谨，即定理的关系并不矛盾。

数学定理是指在原有命题的基础上证明出的新命题或公式，这些原有命题可以是被论证的定理，或者是广为接受的陈述（公理），通常写为：“如果条件，那么结论”;若结论未被证明，但大家都认为结论是正确的，则被称为猜想，如著名的哥德巴赫猜想。但猜想一旦被证明，便成为了定理，猜想是定理的主要来源之一。

2. 影响数学定理学习的因素

   1. 1. 学生原有认知结构

由于数学知识具有呈螺旋式上升的特性，因此学生学习新的数学知识必须建立在现有的认知结构之上。新定理的学习必须从学生的原有认知结构出发，进而去认识、分析新的定理，从而达到理解新定理的目的，所以学生原有认知结构越完整、生活经验越丰富，新定理的学习效果就越好。通过大量的教学实践研究表明，学生原有认知结构的丰富程度将直接影响学生新定理的学习效果。

1. 1. 2. 学生的抽象概括能力

通过大量教学实践研究表明，学生对数学定理的理解掌握水平，受制于学生的抽象归纳概括能力。抽象概括能力包括抽象能力和概括能力；概括能力是指学生对所研究的具体事例的各种属性进行分析、比较，从而找出这些属性的共同特征。概括能力的高低将直接决定学生能否从原有认知结构中找出与新概念的共同属性；抽象能力是指通过分析研究的具体实例，抓住事物的本质属性，数学定理本身具有高度的抽象性，需要学生分析这种抽象、理解抽象之后抓住定理的本质属性，从而加深对新定理的理解。因此学生的归纳抽象概括能力水平，是影响学生定理学习的重要因素之一。

3. 数学定理学习的一般过程

根据杜宾斯基的 “APOS”理论，将数学定理学习的心理过程分为5个阶段：定理发现——定理确定——定理挖掘——定理应用——定理图式。

1. 1. 1. 定理发现

定理发现是指学生在教师的启发引导下，通过观察、实验、分析、抽象、总结等数学活动获得数学定理的过程，数学定理的发现主要包括类属发现、形成发现、类比发现三种²。

定理的类属发现：定理的类属发现是学生原有的认知结构影响新定理的发现，而新定理又对学生原有的认知结构进行改组、重建和扩展的过程。也就是说，学习新定理需要原有定理作为支撑。比如，学习矩形的性质时，需要学生具备“直线平行的性质及判定”和“平行四边形的相关性质”等基本性质定理的学习基础；同时新定理的学习，对学生原有认知结构也会产生影响。比如，学生学习了矩形的性质后，对于正方形的性质就会有新的认识，对于矩形与平行四边形之间的关系，也会从性质、判定、概念上有一个全新的理解，而不是简简单单的知道“矩形是特殊的平行四边形”。

定理的形成发现：定理的形成发现是通过观察、实验、分析、比较、归纳、预测、验证总结等方法分析具体例子，从而获得定理的过程。定理的形成发现可以分为观察实验发现和归纳概括发现。观察实验发现是指通过观察对象的特有属性，在猜想、证明、归纳的基础上获得定理的过程。根据能不能一一列举研究对象所有情形，归纳概括发现又分为完全归纳发现和不完全归纳发现，例如，正弦定理的学习时，将三角形分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形分别进行验证，就运用了完全归纳发现；在探索“多边形内角和”规律时，从三角形、四边形、五边形…进行探索，发现其中的规律，最后归纳出多边形的内角和的公式，就运用了不完全归纳法。

定理的类比发现：定理的类比发现是比较新定理与原认知机制相似定理的一些相同或相似性质，推断新定理在其他性质上也可能具有相同或相似的推理发现形式。类比发现是一个从一般到一般或从特殊到一般的过程，需要发现者具有较强的想象力和丰富的知识，关键在于找到合适的类比对象，从形式、结构、内容等方面深入分析两个类比对象间相同或相似的性质，从而找出类比对象可能存在的性质。如在学习正方形的性质时，就可以类比矩形的性质进行学习，对比正方形与矩形之间相同和相似之处，从而猜想出正方形可能具有的特殊性质。

1. 1. 2. 定理确定

定理确定即定理的证明过程。定理的证明常用综合法、分析法、反证法三种。综合法是从条件到结论进行严格的演绎推理，从条件出发联结原有的认知结构知识，对定理一步一步地进行推理、判断，直到得出结论为止，建立严格的公理化体系。分析法则是从结论出发，在认知结构中寻找相关的已有知识，并逐步追溯其来源，直至与条件相联系。反证法是间接地证明，通过否定结论，再与已知的公理、定理、结论进行推理判断，找出矛盾，从而否定结论，进一步说明原结论的正确性。

确定数学定理的过程实质上是学生理解数学定理的过程，证明数学定理的过程实际上是学生说明定理为什么成立的过程。因此，学生不仅知道定理“是什么”，而且还知道了定理 “为什么”成立。对于定理的认识已经超出了工具性理解。

1. 1. 3. 定理挖掘

在定理的证明后，学习者对于定理有了初步了解，但新定理才进入学生的头脑中，存留时间较短，不足以学生内化定理，学生对定理还不熟悉理解，即离“关注定理性质”的理解水平还有一定的距离；因此在定理确定后，不能让学生急于用定理来进行解题训练，从而达到熟悉理解定理的目的，而是需要对定理的结构、特征和隐含性质进行深入挖掘和研究。

首先剖析定理的结构和特点，每个定理都具有自身的独特性，即有独特的结构和特点，清楚的分析出新定理的结构和特征，对于学生理解新定理会有很大的帮助，进而学生根据定理的内部特征与原有知识结构产生联系，建立完整的认知结构。

其次是发掘定理隐藏的结论和等价形式。除定理本身外，大部分定理都隐藏着重要结论，包括定理的推论、定理的变形等。这些隐含的结论不在定理内容之中，但在运用定理解决问题时，往往可以发挥出至关重要的作用，所以分析提炼出定理的隐藏结论是特别重要的。

最后就是揭示了定理所包含的数学思想方法和规律。数学定理在发现和证明过程中包含了大量的数学思想方法，但学生目前的思维水平还不足以揭示这些数学思想方法，教师有必要帮助学生揭示和理解新定理所包含的数学思想和方法，引导学生理解和记忆，以便在下一次学习中直接使用。

1. 1. 4. 定理应用

完成“定理发现、定理证明、定理挖掘”三个环节，并不意味着已经完成定理学习。相反，学生对于定理的认识还停留在工具性理解和关系性理解层面，需要通过“定理运用”来认识到定理的价值和作用。同时，“定理应用”也是定理学习的最终目的。在定理应用过程中，要注意选用的习题，既要有基本训练题，也要有解决生活问题的题目，还要有适当的定理综合运用题目，从而培养学生的活学活用能力与解决现实生活问题的能力。

1. 1. 5. 定理图式

布鲁纳说，如果没有完善的结构，把所获得的知识放在一起，这将是一个会被人遗忘的知识。所以我们在对定理进行学习之后，为了方便理解记忆及后期的灵活运用，必须要针对性地构建定理图式⁴。“图式”是心理学中的一个重要概念，是指对同类事物的共性进行编码。学生经历了“定理发现、确定、挖掘、应用”四个环节后，将与之相关的实例、概念、结论、思想方法等加以总结整理，形成一个完整的认知结构，最终编码储存在大脑之中。研究者通过大量研究，得出一个关于定理学习效果的结论：学生定理学习效果的诸多影响因素之中，定理图式是否完整是决定定理学习效果的关键因素。所以，在定理应用之后，需要老师引导学生有意识地反思总结，将与该定理有关的推论、思想方法等建立成一个完整的知识结构，从而帮助学生对建立数学定理图式，加深学生对数学定理的理解，提高学生运用定理分析、解决问题的能力，进而促进学生的发展。

定理教学贯穿于学生的学习生涯，不仅能让学生增长知识，还能培养学生的数学思维方法、思维能力。在定理教学过程中，需要教师按照学生定理学习的心理过程：“定理发现——定理确定——定理挖掘——定理应用——定理图式”来进行教学，从而来唤醒、感悟、提炼、内化、迁移学生的思维活动经验，让学生经历从“渐悟”到“顿悟”最后“大彻大悟”的过程。

参考文献

1. 韩静.浅谈初中数学公式、定理过程性教学.吉林教育，2018，第27期

2. 王富英,冯静,吴立宝.数学定理学习的心理过程[J].内江师范学院学报,2019,34(02):31-37.

1 韩静.浅谈初中数学公式、定理过程性教学.吉林教育，2018，第27期

2 王富英,冯静,吴立宝.数学定理学习的心理过程[J].内江师范学院学报,2019,34(02):31-37.

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