运用长方体正方体知识解决问题

运用长方体正方体 知识解决问题

项清华

绵阳市安昌路小学

关键词：激发生活经验 感知大量材料 聚类分析 把握特征

操作中分析观察建立模型

善于转化

抓等量关系

根据多年的数学教学经验以及平时教研体会，发现小学生的生活经验匮乏，理解问题、分析问题能力较弱。对于运用加减乘除解决生活中的问题比较吃力，何况再要运用学过的平面图形面积知识、立体图形体积知识来解决问题，难度加大，更加困难。五年级下册学习长方体、正方体的特征，求棱长和、表面积、体积公式。要求学生综合运用这些知识解决问题很有意义，而且内容丰富，题型广泛,是小学生必须具备的解决问题能力。但是孩子们在解决问题时正确率不高，很多孩子无从入手。激起了我对问题研究的兴趣：怎样才能调动兴趣？化难为易，提高正确率，提高解决问题能力？

由于对问题有了充分的认识与设想，所以在教学到这一部分内容时特别在意与关注。课前充分准备实施了教学，课后也随时跟进及反馈，积累了一些点滴经验。

1·密切联系生活实际，提供大量的生活原型材料，聚类分析，探索图形特征，拓宽空间想象与丰富图形的经验。

长方体、正方体作为最基本的图形，是学生从二维空间转向三维空间学习的起始。课堂上：通过对小时候的积木、一些建筑物、生活用品形状的观察，从众多素材中抽象出长方体、正方体的立体图形，使学生感知到生活中很多物体的形状是长方体或正方体，让学生用数学的眼光来观察生活中物体的形状。例如：孩子们课前收集并带来大量物品，有各种积木、药盒、鞋盒、茶叶盒······拍摄并展示大量建筑物。在触摸中感知了长方体、正方体的面平平的，面与面相交于线，线与线相交于点，确切感知顶点、棱、面的各自特征。

师：摸一摸，长方体正方体的面有什么感觉？面与面相交的线段叫作棱，摸摸棱有什么感觉？线与线相交的点叫顶点，数数看长方体有几个顶点？

生：他们的面都是平的，顶点都是尖尖的，线都是直直的。

师追问：那我们教室内的广播、电视机形状是否是长方体或正方体呢？

生：不是，音箱的前面是曲面，不是平平的面；电视机的顶点不是尖尖的，相对应的面形状不一样。但是电视机的外包装箱形状是长方体。

2·在动手操作、自主探索中，培养空间观念，建构空间模型。

对于长方体中顶点、面的特征，学生易于观察，便于总结，但是棱的认识缺少感性经验。首先，棱这一概念与现实脱离，我们口语中常说成“边边”，或误读成ling。其次，孩子对棱这一概念本就陌生。于是，在教学新课时进行了充分操作，有序观察，合理的提升。完成了教学目标，建构起了长、宽、高的空间观念。

课前要求每人用木条和橡皮泥做一个长方体框架。用给定的六个面做一个长方体盒子。学生在操作中实现从立体到平面再到立体的抽象过程。

师问：观察面前的长方体框架，你用了几根木条才搭成长方体框架？长方体有多少条棱？这12条棱可以怎样分组？每一组棱的长度有什么关系？

生1：需要12根木条才能搭成框架，说明长方体有12条棱。

生2：这12条棱可以分成3组，每一组的长度相等（特殊情况：有二组都相等的）

师问：长方体中相交于一个顶点的棱有几条？这几条的长度怎样？相交于其它顶点的棱各有几条，他们的长度怎样？

生1：相交于一个顶点的棱有三条，

生2：相交于每一个顶点的棱都有三条

虽然相交于每一个顶点的棱都有三条，但是每组棱都重复了一次，所以和前面所学知识长方体只有12条棱长度并不矛盾。

师课件演示三组不同的棱，问：观察每一组棱在空间位置上有什么特点？

生：每一组中：相对的棱都互相平行，相邻的棱互相垂直。

师合理提升：由于有三组互相平行的棱，每一组的棱长度相等，所以可以取相交于一个顶点的3条棱作代表，把相交于一个顶点的3条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。说明长方体的形状和大小是由它的长、宽、高决定的，知道了长方体的长、宽、高，就可以知道这个长方体是什么样子。再次操作：横放、竖放、侧放长方体，同桌互相指认长、宽、高。

从实物中抽象出长方体直观图，指认长方体直观图上的长、宽、高，实现由实物到模型图的建构。再抽象出如图所示的结构图，一组长宽高的空间模型建立水到渠成。

高 宽

长

长方体表面积计算方法探究也顺利完成

前后面面积=长×高

左右面面积=宽×高

上下面面积=长×宽

3·化抽象为具体，借助习题插图或者画直观图，或者拼摆，运用转化的思想解决问题，体会成功。

在教学长方体、正方体的表面积、体积知识计算后，在练习中遇到这样一个案例：把8个棱长是1厘米的小正方体拼成一个长方体、或正方体，拼成的长方体、或正方体的表面积各是多少？

题目出示后，不少学生眉头紧锁，无精打采，迟迟无法下手。有的学生把无助的目光投向了我？我笑笑说，难道真的没有办法吗？大家摆摆看。一些学生接受了我的建议，开始了操作，不少学生也跟着模仿。渐渐的，大家紧锁的眉头逐渐舒展，有的还展开了笑颜，在桌子上拼摆着，本子上记录着······

几分钟后，我问道：谁能上来说一说，一双双小手举了起来。

生1：我每8个摆一行，只摆了一行，摆成了一个长方体，它的长是8厘米，宽和高都是1厘米，表面是34平方厘米。

生2：我每4个摆一行，摆了2行，摆成了一个长方体，它的长是4厘米，宽2厘米，高1厘米，表面积是28平方厘米。

生3：我每2个摆一行，摆了2行共2层，长宽高都是2厘米，是一个正方体，表面积是16平方厘米。

生4：每一种摆法的表面积虽然不同，但是他们的体积相等。

生5：老师，我可以这样推想吗？体积相等的长方体和正方体，长方体的表面大，正方体的表面积小。

我满含激动的不断点头，因为那不仅仅是一道习题的解决，而是一种研究习惯的建立，是一种自信的树立。

长方体、正方体的问题解决内容可以分为四大类型：求棱长和，求表面积，求体积（或者容积）、单独求长、宽、高其中一个。但是学生在解答问题时无法准确判断问题所属类型以及属于类型中的哪一种情况。这时，如果学生能做到化抽象为具体，借助习题插图或者自己画出结构图进行分析，转化问题，就能迎刃而解，事半功倍。

4·分析等量关系，突破问题难点

那是进入期末复习阶段，分章节复习完成后，就进行综合练习，每次的试卷练习中都有不规则物体的体积问题。有好几个孩子就反映说：老师，其他的问题我们都能有把握有信心，就是不规则物体方面的问题我很迷茫，心里没底······于是，我列举3个典型案例，类比分析。

①一个长方体玻璃容器，从里面量长宽均为2分米，向容器中倒入5升水，再把一个土豆放入水中。这时测得容器内的水深是13厘米。这个土豆的体积是多少？

②有一个长方体容器，从里面量长5分米，宽4分米，高6分米，里面注有水，水深4分米，如果把一块3分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？

③一只长方体玻璃缸，从里面量长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？

师问：能解决这3个问题吗？生1：老师我们已经晕了，这是我们最害怕遇到的题型。我夸张的问：“真有这么难吗？”许多学生不断点头。我诡异的一笑：从问题入手，找找每个题的等量关系试一试。

学生开始在草稿本上写写画画。渐渐地，有学生举起了小手。

生1：第一题，求土豆的体积

等量关系是：土豆的体积 =水与土豆体积和﹣水的体积

水与土豆体积和=边长×边长×高=2×2×1.3 （注意单位统一）

列式为： 2×2×1.3﹣5=0.2（立方分米）

生2：第二题求水面上升高度，相当于求高

等量关系：水面上升部分体积=铁块体积

水面上升高度=铁块体积÷容器的底面积

列式为：（3×3×3）÷（5×4）=1.35（分米）

生3：我是这样想的

水面上升高度=（水的体积+铁块体积）÷玻璃缸底面积﹣原来水位高度

列式为：（5×4×4+3×3×3）÷（5×4）﹣4

=5.35﹣4

=1.35（分米）

生4：我发现xxx同学把问题复杂化了。因为水面上升部分体积=铁块体积，直接用水面上升部分体积÷容器底面积，就求到了水面上升高度。

生5：第3题是求溢出的水的体积

等量关系是：水的体积+铁块体积﹣容器体积=溢出的水的体积

列式为： 8×6×2.8﹢4×4×4﹣8×6×4

=198.4﹣192

=6.4（升）

生6:物体体积－空余部分体积=溢出的水的体积

生7：老师，我发现，只要从问题出发，找到了等量关系，问题就变得容易多了。

生8：如果能根据题意画出结构图形去理解，无论是找等量关系还确定解题方法，会更直观更简单。

我及时抓住这一关键契机：对呀，从问题入手，借助结构图形，找准等量关系，是我们解决数学问题的好方法，能突破难点，让我们找到问题的突破口，希望大家以后灵活运用。

总之：长方体、正方体作为最基本的图形，是学生从二维空间转向三维空间学习的起始。学生要善于从大量的生活经验材料中去聚类分析，抽象出立体模型图。在拆、搭、摆中由立体到平面再到立体中去感知，构建起长方体三组棱、六个面、整个体的空间模型，掌握棱、面、体各自特征，实现二维到三维，三维到二维的随意切换，为解决棱长和、表面积、体积问题积淀知识基础。掌握一些解决问题的策略，善于抓住题目中关键信息，学会分析转化，找准等量关系，问题就会迎刃而解。并在比较分析中拓展提升。例如：长方体体积、正方体体积都可以转化成底面积乘高；或者长方体、正方体表面积等于侧面积加两个底面积，那么绕着长方体的一条棱旋转一周将得到什么样的立体图形？这种图形的体积和侧面积与长方体是否有关？有怎样的关系？为圆柱体的学习做好铺垫。

参考文献：《小学数学课程标准》“空间与图形部分”