云南省红河州弥勒市第一中学数学组652399
二次函数是高中数学的一个重要的初等函数，他在高中数学的能力层次要求是掌握，是最高的能力要求，而二次函数开口，
，对称轴，零点的讨论也是常考的一个考点，下面笔者结合多年的教学经验谈谈二次函数的分类讨论。
一．二次函数的对称轴与定义域一定一动的类型
所谓一定一动，就是指对称轴和定义域一个确定，一个变化，这时，我们要分三类情况进行讨论，第一类是对称轴在定义域的左边，第二类是对称轴在定义域的中间，第三类是对称轴在定义域的右边。
例1.已知函数
在区间
上有最大值
，求实数
的值。
解：
，其图像的对称轴为
，顶点为
。
第一类：当
，即
时，
在区间
上单调递减，
而
，即
，得
或
（舍）；
第二类：当
，即
时，
，得
，
符合条件；
第三类：当
，即
，
在区间
上单调递增，
而
，
，
（舍去）
综上：
或
。
二．能因式分解的含参数的一元二次函数的讨论
有些一元二次函数的
为一个数或者某个式子的完全平方，则这个一元二次函数就可以进行因式分解，因式分解后就可以得到连个零点，两个零点就要先比较根的大小，再考虑开口方向。
例2（2014全国新课标Ⅰ文科）设函数
，曲线
在点
处的切线斜率为0。
（1）求
；（2）若存在
，使得
，求
得取值范围。
解：（1）
；
（2）
，
令
，
为一个式子的平方，该二次函数可以因式分解，
的两个零点为
若
，即
，
，而二次项系数为
，
的开口向上，当
，
单减，当
单增，
，而
，显然
不成立；
当差
，即
即
或
，当
时，
开口向上，当
，
单增，
化简可得：
满足前提
，
；
当
开口向下，
大致图象如下：
，而
，显然
不成立。
综上：
的取值范围为
。
三．不能因式分解的含参数的一元二次函数
有些含参数的一元二次函数不能因式分解，就只能讨论
，在讨论过程中，还得注意某些特殊值。
例3.（2015年山东高考改编）设函数
其中
，若对
成立，求
的取值范围。
解：
的定义域为
，
，令
。
①当
在
上单增，
，
满足条件。
③当
为一个开口向上的二次函数，
的对称轴为
，
，
，若
，即
时，当
时，
在
上单增，
符合条件；
当
，即
时，
，若
，即
单增，
符合，当
，即
，存在大于0的零点
，当
时，
单减，不符合。
第四类：若一次函数中有恒大于0或者恒小于0的情况，优先考虑
例4（2011年全国新课标改编）已知函数
，如果当
时，有
，求
的取值范围。
解：令
，
，
若
在
都是单增函数，当
与题意不合。
当
时，令
为一个开口向下的二次函数，
若
，即
在
上都单减，当
时，
而
，当
时，
而
满足条件；
而当
时，即
时，设的两零点为
，由根与系数的关系，
有两个大于0的零点，
，
不妨设
当
时，
在
上单增，
与题意不符，综上所述，
的取值范围为
。
从初中到高中，二次函数都作为一块重要的内容进行考查，在高中更多的是对称轴，零点，开口方向进行讨论，不管怎么难，总会有一定的规律，只要我们细心寻找，总会找到它的入手点，找到它的规律，从而顺利地把二次函数解出来。
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