云南省红河州弥勒市第一中学数学组652399
二次函数是高中数学的一个重要的初等函数,他在高中数学的能力层次要求是掌握,是最高的能力要求,而二次函数开口,,对称轴,零点的讨论也是常考的一个考点,下面笔者结合多年的教学经验谈谈二次函数的分类讨论。
一.二次函数的对称轴与定义域一定一动的类型
所谓一定一动,就是指对称轴和定义域一个确定,一个变化,这时,我们要分三类情况进行讨论,第一类是对称轴在定义域的左边,第二类是对称轴在定义域的中间,第三类是对称轴在定义域的右边。
例1.已知函数在区间上有最大值,求实数的值。
解:,其图像的对称轴为,顶点为。
第一类:当,即时,在区间上单调递减,
而,即,得或(舍);
第二类:当,即时,,得,
符合条件;
第三类:当,即,在区间上单调递增,
而,,(舍去)
综上:或。
二.能因式分解的含参数的一元二次函数的讨论
有些一元二次函数的为一个数或者某个式子的完全平方,则这个一元二次函数就可以进行因式分解,因式分解后就可以得到连个零点,两个零点就要先比较根的大小,再考虑开口方向。
例2(2014全国新课标Ⅰ文科)设函数,曲线
在点处的切线斜率为0。
(1)求;(2)若存在,使得,求得取值范围。
解:(1);
(2),
令,为一个式子的平方,该二次函数可以因式分解,的两个零点为若,即,
,而二次项系数为,的开口向上,当,
单减,当单增,
,而,显然不成立;
当差,即即或,当时,开口向上,当,
单增,化简可得:
满足前提,;
当开口向下,大致图象如下:
,而,显然不成立。
综上:的取值范围为。
三.不能因式分解的含参数的一元二次函数
有些含参数的一元二次函数不能因式分解,就只能讨论,在讨论过程中,还得注意某些特殊值。
例3.(2015年山东高考改编)设函数其中,若对
成立,求的取值范围。
解:的定义域为,
,令。
①当在上单增,,
满足条件。
③当为一个开口向上的二次函数,的对称轴为,,
,若,即时,当
时,在上单增,符合条件;
当,即时,,若,即单增,符合,当,即,存在大于0的零点,当
时,单减,不符合。
第四类:若一次函数中有恒大于0或者恒小于0的情况,优先考虑
例4(2011年全国新课标改编)已知函数,如果当
时,有,求的取值范围。
解:令,,
若在都是单增函数,当
与题意不合。
当时,令为一个开口向下的二次函数,
若,即在上都单减,当时,而,当时,
而满足条件;
而当时,即时,设的两零点为,由根与系数的关系,有两个大于0的零点,,
不妨设当时,在
上单增,与题意不符,综上所述,的取值范围为。
从初中到高中,二次函数都作为一块重要的内容进行考查,在高中更多的是对称轴,零点,开口方向进行讨论,不管怎么难,总会有一定的规律,只要我们细心寻找,总会找到它的入手点,找到它的规律,从而顺利地把二次函数解出来。