小题目大智慧——一道习题课的探究尝试

小题目大智慧——一道习题课的探究尝试

李晓云

安徽省临泉县白庙镇中心完小

[摘 要]：在教学中应以典型习题为平台，充分挖掘习题的功能，善于利用点滴灵感，不失时机地对学生进行思想方法渗透和培养。

[关键词]：变式探究；类比思想；转化思想；举反例；逆向思维；几何直观；形象思维；抽象思维

在一次以“挖掘教材内容，探索合理的思维训练模式”为宗旨的公开课教研活动中，我所选讲是，北师版小学数学五年级上册，《探究活动（三）梯形的面积》一节的练一练第四题。意外的是，评课时点燃了大家的发言热情，你方唱罢我登场，议了近两节课，我赚大发了。于是我认真反思，重新整理，进行改进，并把对本习题的教学再设计呈现给大家，敬请斧正。

习题再现：（图1）这堆圆木有几根？你能列式计算吗？

图1

1、习题剖析

本习题呈现是“生活中的数学”，所解决的问题实质上是一个算法设计——特殊的一列数的求和运算，可归属于很经典的“高斯求和”的一类问题。其方法大体上有两条思路：一个从“数”的角度，一个从“形”的角度，基于学生的思维发展，和本节课教学内容，应从“形”的角度——几何直观入手。另外，“体会几何直观作用，初步建立空间观念，发展形象思维和抽象思维”是新课标目标的一个重要内容。所以应以本题为平台，充分挖掘习题的功能，善于利用点滴灵感，不失时机地对学生进行思想方法渗透和培养。在解决习题问题及其引申变式的探究过程中，应尽量地注意到：抓本质忽小技，重交流轻讲解，重深刻轻肤浅，倡愉快拒茫然。

2、教学设计

2.1，习题解析

方法 一：顺应“民意”， 渗透类比思想

在实际教学中，会有学生很快地就回答出正确的结果：(3＋8)×6÷2=33(根)。

若继续问：“你是怎么想的?”学生会毫不犹豫地说：“因为圆木堆成的横截面近似梯形，所以可以直接用梯形的面积公式计算。”你看，学生就会忽忽悠悠地用上了类比的数学思想，联系上了面积公式，经过检验确实正确。老师要对此思路及时加以赞赏和引导，“同学们这种思考方法很重要，科学家们正是通过这样的方法，看到鸟类展翅飞翔，制造出了具有机翼的飞机；看到蝙蝠在黑夜中能自由飞翔，借助对蝙蝠的研究人们发明了超声波探测仪，等等，像这样发现还很多。这种非常有用的思想方法叫做类比。”再结合思维导图2给出浅显解释，这样可以激发同学们的探究热情。

方法二：适当启发，应用转化思想

问：（1）通过上一节课梯形面积的学习，课本上是如何把“不会求解”的梯形面积，转化为我们“会求解”的长方形或平行四边形面积的呢？

（2）如果堆积圆木的截面是是长方形或平行四边形，你会计算吗？

这样，学生很容易回归到教科书中应用的一种重要的数学思想——转化思想，把梯形堆积圆木的截面通过拼图，转化为平行四边形的截面，然后易求。

2.2变式探究

数学活动过程的基本特征是层次性，这种层次性既可以表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。因此，在数学教学过程中，进行过程性变式，可以使得问题探究有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。

变试题1：（图1）这堆圆木有几根？你能列式计算吗？

学生会像上一题的“方法一”那样很快地给出答案，即类比用三角形的面积计算，应该是8×8÷2=32(根)，而实际是36根。学生正为此迷惑不解之际，应抓住时机，加以引导和说明。在利用类比方法时，要注意，任何两个相似的对象之间总会有一定的差异，不恰当的类比也可能产生错误。实际上类比是一种猜想，为了保证类比结论的正确，还要经过正确地推理加以说明。像上一题的“方法二”那样可以给出本题的正确计算。变试题1中的截面图形不能近似为三角形，应近似为上底为“1”的梯形，即(1＋8)×8÷2=36(根)。

设计意图：通过变式，可以辩证地认识类比思想，它实际上是一种猜想，可能正确也可能错误。这样一来，学生解决了问题，而且还对“类比思维”有了较为深刻的了解。

变试题2:

（1）在日常生活中，类似于堆圆木，说一说，你还有那些堆积实物办法表示出1＋2＋3＋4＋…＋8？

（2）你能用班内汉语字典堆积吗，什么样堆积图形便于巧算出结果？请同学们动手垒一垒，议一议。

学生通过自主探究、合作、交流，发现把“汉语字典”堆积成三角形比较合理，不难再次应用本节课的转化思想，把梯形或三角形堆积图截面转化为长方形截面。这样就得到长方形，学生很容易观察，列出算式：1＋2＋3＋4＋…＋8=(1＋8)×8÷2=36

进一步引导学生观察图形：根据图形逐个对每一行的数字求和，也可以得到另一种算式：                                  

（1＋2＋3＋4＋5＋…＋8）

+（8＋7＋6＋5＋4＋…＋1）

=9＋9＋9＋9＋9＋…＋9

也就是说，1＋2＋3＋4＋…＋8=9×8÷2=36

引导学生总结这个算式的特点：“倒序相加除以二”（注意：上下对应的“每一对数字”之和相等）

设计意图：通过逆向变式，培养学生的创新意识。逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。在本题中把“堆圆木”变成“堆积汉语字典”使得图形更直观，更易操作。

2.3课堂练习

计算：3＋4＋5＋6＋…＋2012＋2014

     设计意图：突出形式化计算，有利于知识的掌握。

3、结语

在这节课的学习中，我认为“求圆木的根数”及“倒序相加除以二”的应用技巧不是主要的目的，而它们的思路形成过程及过程中所用到数学思维方法才是本节课的重点。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔文章中的一句话：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后,相应地发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽。”这句话也就告诉了我们，数学的知识、技巧固然美丽，而形成知识、技巧火热的思考过程更为重要。

参考文献：

[1]鲍建生、黄荣金、易冷峰、顾泠沅．变式教学研究[J]．中学数学教学，2003

    [2]顾泠沅、杨玉东.  过程性变式与数学课例研究[J]（上海市教育科学研究院）

    [3]小学数学新课程标准（2013版）